Esercizio di teoria dei numeri (Davenport)
salve, vorrei sapere cosa pensate dello svolgimento di questo esercizio (1.14 dal Davenport):
Dimostrare che se $p$ e $q$ sono primi dispari $p^a*q^b$ non può essere perfetto.
Se $p$ e $q$ sono primi la somma dei divisori di $p^a*q^b$ è $sigma(p^aq^b)=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)$, quindi bisogna dimostrare che l'uguaglianza $sigma (p^aq^b)=2p^aq^b$ è impossibile con le ipotesi fatte in precedenza (Ricordo che un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso, ma incluso 1).
Suppongo che l'uguaglianza possa essere vera e cerco qualche assurdo:
Solo uno tra $(1+p+p^2+...+p^a)$ e $(1+q+q^2+...+q^b)$ dev'essere pari perchè $(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)=2p^aq^b$ ci dice che il loro prodotto dev'essere divisibile solo per $2$ e non per $4$.
Supponiamo che $(1+p+p^2+...+p^a)$ sia pari.
Allora $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ (1)
e
$(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$, (2)
infatti il primo membro della (1) diviso per $p$ dà resto $1$ e quindi la sua fattorizzazione non contiene $p$, il primo membro della (2) diviso per $q$ dà resto $1$ e quindi $q$ non può comparire nella sua fattorizzazione.
$(1+q+q^2+...+q^b)=((q^(b+1)-1))/(q-1)=p^a$ (dalla (2)) Quindi $q^(b+1)-1=p^(a+h)*t^k$ e $q-1=p^h*t^k$, ora, se $t$ non può essere dispari perchè si avrebbe da una delle ultime uguaglianze che la differenza di due numeri dispari è dispari. Quindi, sottraendo membro a membro l'ultima equazione dalla penultima si ha: $q^(b+1)-q=t^k(p^(a+h)-p^h)$. $t^k$ dev'essere multiplo di $q$, ma da $q-1=p^h*t^k$ si vede che il primo membro non è divisibile per $q$ (perchè dà resto -1) e il secondo si. Questo dovrebbe essere l'assurdo che cercavo.
Pensate che sia giusta? Se si avete pensato qualcosa di meglio, di più semplice?
Dimostrare che se $p$ e $q$ sono primi dispari $p^a*q^b$ non può essere perfetto.
Se $p$ e $q$ sono primi la somma dei divisori di $p^a*q^b$ è $sigma(p^aq^b)=(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)$, quindi bisogna dimostrare che l'uguaglianza $sigma (p^aq^b)=2p^aq^b$ è impossibile con le ipotesi fatte in precedenza (Ricordo che un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma dei suoi divisori escluso il numero stesso, ma incluso 1).
Suppongo che l'uguaglianza possa essere vera e cerco qualche assurdo:
Solo uno tra $(1+p+p^2+...+p^a)$ e $(1+q+q^2+...+q^b)$ dev'essere pari perchè $(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)=2p^aq^b$ ci dice che il loro prodotto dev'essere divisibile solo per $2$ e non per $4$.
Supponiamo che $(1+p+p^2+...+p^a)$ sia pari.
Allora $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ (1)
e
$(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$, (2)
infatti il primo membro della (1) diviso per $p$ dà resto $1$ e quindi la sua fattorizzazione non contiene $p$, il primo membro della (2) diviso per $q$ dà resto $1$ e quindi $q$ non può comparire nella sua fattorizzazione.
$(1+q+q^2+...+q^b)=((q^(b+1)-1))/(q-1)=p^a$ (dalla (2)) Quindi $q^(b+1)-1=p^(a+h)*t^k$ e $q-1=p^h*t^k$, ora, se $t$ non può essere dispari perchè si avrebbe da una delle ultime uguaglianze che la differenza di due numeri dispari è dispari. Quindi, sottraendo membro a membro l'ultima equazione dalla penultima si ha: $q^(b+1)-q=t^k(p^(a+h)-p^h)$. $t^k$ dev'essere multiplo di $q$, ma da $q-1=p^h*t^k$ si vede che il primo membro non è divisibile per $q$ (perchè dà resto -1) e il secondo si. Questo dovrebbe essere l'assurdo che cercavo.
Pensate che sia giusta? Se si avete pensato qualcosa di meglio, di più semplice?
Risposte
"pippo93":
...Quindi, sottraendo membro a membro l'ultima equazione dalla penultima si ha: $q^(b+1)-q=t^k(p^(a+h)-p^h)$. $t^k$ dev'essere multiplo di $q$, ma da $q-1=p^h*t^k$ si vede che il primo membro non è divisibile per $q$ (perchè dà resto -1) e il secondo si. Questo dovrebbe essere l'assurdo che cercavo.
Perchè non può essere (come infatti è) che:
$t^k|q^(b+1)-1$
$t^k$ non neseccariamente è multiplo di $q$!
P.S. per la soluzione ci sto pensando!
Salve a tutti, tento di resuscitare questo topic dato che credo di aver risolto il problema (sperando di non aver commesso errori grossolani come quelli precedenti).
moltiplicando entrambi i membri di $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ per $p-1$ si ha: $p^(a+1)-1=2q^b*(p-1)$. Moltiplicando entrambi i membri di $(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$ per $q-1$ si ha : $p^a*(q-1)=q^(b+1)-1$. Sommando membro a membro le uguaglianze ottenute: $p^a(p+q-1)=q^b(p+q+1)$.
Essendo comprimi sia $p^a$ e $q^b$ che $(p+q-1)$ e $(p+q+1)$, infatti se $p+q-1$ e $p+q+1$ avessero un divisore comune allora questo sarebbe $2$, ma ciò è assurdo perchè sia $p$ che $q$ sono dispari, dovrà essere $p^a=p+q+1$ e $q^b=p+q-1$, sottraendo membro a membro : $p^a-q^b=2$
Ma guardando $(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$ si vede che $q$ non può essere che $1$, ma ciò è ovviamente assurdo, quindi $p$ e $q$ non possono essere entrambi dispari.
Che ne pensate? E' la dimostrazione è giusta?
Piccolo chiarimento: L'ipotesi che entrambi i primi siano dispari, che ci porterà in ogni caso all'assurdo, viene sfruttata quando dall'equazione $(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)=2p^a*q^b$ ricaviamo $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ e
$(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$
Grazie a tutti della pazienza
moltiplicando entrambi i membri di $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ per $p-1$ si ha: $p^(a+1)-1=2q^b*(p-1)$. Moltiplicando entrambi i membri di $(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$ per $q-1$ si ha : $p^a*(q-1)=q^(b+1)-1$. Sommando membro a membro le uguaglianze ottenute: $p^a(p+q-1)=q^b(p+q+1)$.
Essendo comprimi sia $p^a$ e $q^b$ che $(p+q-1)$ e $(p+q+1)$, infatti se $p+q-1$ e $p+q+1$ avessero un divisore comune allora questo sarebbe $2$, ma ciò è assurdo perchè sia $p$ che $q$ sono dispari, dovrà essere $p^a=p+q+1$ e $q^b=p+q-1$, sottraendo membro a membro : $p^a-q^b=2$
Ma guardando $(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$ si vede che $q$ non può essere che $1$, ma ciò è ovviamente assurdo, quindi $p$ e $q$ non possono essere entrambi dispari.
Che ne pensate? E' la dimostrazione è giusta?
Piccolo chiarimento: L'ipotesi che entrambi i primi siano dispari, che ci porterà in ogni caso all'assurdo, viene sfruttata quando dall'equazione $(1+p+p^2+...+p^a)(1+q+q^2+...+q^b)=2p^a*q^b$ ricaviamo $(1+p+p^2+...+p^a)=2q^b$ e
$(1+q+q^2+...+q^b)=p^a$
Grazie a tutti della pazienza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo