Esercizio di Teoria dei Numeri

[manuelb9393]

Buongiorno, vi chiedo gentilmente di aiutarmi con il seguente esercizio

Si dica per quali primi $p$ $x^3+x-3\equiv 0 \mod p$ ha soluzione.

Non chiedo la soluzione ma un piccolo suggerimento per partire.

Grazie a chi risponderà!

[hydro1]

Sei sicuro che quel polinomio sia giusto? Da che contesto viene questo esercizio?

[manuelb9393]

Guarda, sostanzialmente è un esercizio che ho trovato in un vecchio tema d’esame di teoria dei numeri e crittografia. È l’unico di questo genere trovato nei temi a mia disposizione, per questo non saprei come partite. In generale, supponendo sia giusto, come si ragiona in questi casi?

[hydro1]

E' una strana domanda, perchè è noto che non esistono condizioni di congruenza su $p$ che assicurino che $x^3+x-3$ abbia una radice modulo $p$. Questo succede perchè il gruppo di Galois di quel polinomio non è abeliano. Quindi la risposta deve passare attraverso una legge di reciprocità più alta; in questo caso dovresti guardare la forma cuspidale associata alla curva ellittica $y^2=x^3+x-3$ e capire quali coefficienti di Fourier sono pari. Non credo proprio che questa sia la risposta richiesta, per questo mi chiedevo se avessi copiato giusto il polinomio.

[manuelb9393]

Effettivamente ciò di cui parli non l’ho mai sentito durante il corso ahahah anche a me comunque è parso strano, anche perché completamente slegato dalle altre domande