Esercizio di Teoria dei Modelli
Ciao a tutti,
è da alcuni giorni che sto tentando di risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Modelli ma non ne vado fuori. So che è una sezione della matematica abbastanza specifica, ma spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
La richiesta è la seguente:
Sia $K$ un campo. Lavorare nel linguaggio $L={+,-,0}\cup{f_k : k\in K}$ dove ogni $f_k$ è un simbolo di funzione unaria.
Mostrare che la teoria $T_\infty$ dei $K$-spazi vettoriali infiniti è completa.
(Qui "infiniti" si riferisce alla cardinalità dello spazio vettoriale, e non alla cardinalità di una base.)
Inizialmente avevo pensato di applicare il Teorema di Vaught, ma poi mi sono resa conto che non siamo nelle ipotesi giuste: non è affatto vero che ogni modello di $T_\infty$ ha cardinalità maggiore di $|L|=|K|$, potrebbe infatti benissimo esistere uno spazio vettoriale numerabile su $\mathbb{R}$.
Anche cercare di provare che ogni due modelli di $T_\infty$ sono elementarmente equivalenti mi sembra poco fattibile.
Ho anche provato a dimostrare che $T_\infty$ ha eliminazione dei quantificatori in $L$ per poi provare ad utilizzare qualche risultato visto a lezione, magari sfruttando la model-completezza, ma mi sembra molto laborioso!
Qualcuno ha dei suggerimenti?
è da alcuni giorni che sto tentando di risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Modelli ma non ne vado fuori. So che è una sezione della matematica abbastanza specifica, ma spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
La richiesta è la seguente:
Sia $K$ un campo. Lavorare nel linguaggio $L={+,-,0}\cup{f_k : k\in K}$ dove ogni $f_k$ è un simbolo di funzione unaria.
Mostrare che la teoria $T_\infty$ dei $K$-spazi vettoriali infiniti è completa.
(Qui "infiniti" si riferisce alla cardinalità dello spazio vettoriale, e non alla cardinalità di una base.)
Inizialmente avevo pensato di applicare il Teorema di Vaught, ma poi mi sono resa conto che non siamo nelle ipotesi giuste: non è affatto vero che ogni modello di $T_\infty$ ha cardinalità maggiore di $|L|=|K|$, potrebbe infatti benissimo esistere uno spazio vettoriale numerabile su $\mathbb{R}$.
Anche cercare di provare che ogni due modelli di $T_\infty$ sono elementarmente equivalenti mi sembra poco fattibile.
Ho anche provato a dimostrare che $T_\infty$ ha eliminazione dei quantificatori in $L$ per poi provare ad utilizzare qualche risultato visto a lezione, magari sfruttando la model-completezza, ma mi sembra molto laborioso!
Qualcuno ha dei suggerimenti?
Risposte
Scusatemi tanto per l'OT ma non ho resistito ... 
[ot]Devo proprio andare dall'oculista perché avevo letto: "Esercizio di Teoria dei MOBILI" - autore: IKEA ...
[/ot]
[ot]Devo proprio andare dall'oculista perché avevo letto: "Esercizio di Teoria dei MOBILI" - autore: IKEA ...
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Molto simpatico.
Proprio nessuno può darmi un suggerimento?
Proprio nessuno può darmi un suggerimento?
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