Esercizio di teoria dei gruppi

[drughe]

ciao devo fare l'esame di algebra 2 e ho iniziato oggi a fare qualche esercizio di teoria dei gruppi e volevo sapere se per ora sto procedendo bene oppure no, e inoltre chiedervi qualche dubbio qua e là.

prendo un esercizio che ho fatto oggi ad esempio.

si consideri il gruppo moltiplicativo $G=U(\mathbb{Z}_{27})$

(a)calcolare esplicitamente i sottogruppi di Sylow di $G$ (su questo primo punto mi sento abbastanza sicuro ma ve lo scrivo perchè non si sa mai...)

notiamo innanzitutto che $G=\{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26 \}$ semplicemente perchè $g \in U(\mathbb{Z}_{27}) \iff [g \in \mathbb{Z}_{27} \mbox{ e } MCD(g,27)=1]$ inoltre $G=<2>$
detto ciò abbiamo che $|G|=18=2\cdot3^2$ quindi i p-sottogruppi di sylow hanno ordine 2 o 9. Per il primo teorema di Sylow sono sicuro della loro esistenza.

dopodichè noto che 26 ha periodo 2 e quindi $<26> =\{1,26 \}$ è un 2-sylow ed è unico (corollario th sylow) in quanto è normale (essendo G abeliano, quindi ammette solo sottogruppi normali).

troviamo i 3-sylow che hanno cardinalità 9 in G:
considero $<4> =\{1,4,16,10,13,25,19,22,7\}$ che come prima è normale e quindi è unico e quindi questo esercizio è finito.
nota:
per trovare i generatori 26 e 4 ho ragionato cosi:
nel caso di 26 avevo bisogno di $g \in G$ tale che $g^2 \equiv 1mod(27)$ e quindi sapendo che G è generato da 2 e $2^{18}=1$, posto $g=2^x$, risulta $2^{2x}\equiv 1mod(27)$ se x=6 e mi sono calcolato $2^6$ che poi è 26.
analogamente con 4

(b) Calcolare tutti gli omomorfismi di gruppi del tipo $G\rightarrow A_4$ (e qua inizia qualche dubbio)

ricordiamo $|G|=18,|A_4|=12$. quindi se N è il ker dell'omomorfismo deve essere un sottogruppo (normale) di G e quindi $|N| \in \{1,2,3,6,9,18\}$ perché per il teorema di lagrange devono essere i divisori di |G|. analizziamo caso per caso:

-se $|N|=1$:
l immagine del nostro omomorfismo avrebbe dimensione 18=$\frac{|G|}{|N|}=\frac{18}{1}$ (per il teorema fondamentale di isomorfismo) e quindi non è possibile perchè $|A_4|=12$.

-se $|N|=18$:
consideriamo l omomorfismo banale che $\forall g \in G$ associa $id \in A_4$ [OT](dovreste implementare \mapsto se no non si capisce con la freccia semplice)[\OT]

-se $|N|=3$:
posto $\varphi$ l omomorfismo cercato, risulta $|Im(\varphi)|=6$, ma questo dovrebbe essere un sottogruppo di $A_4$ e non ci sono sottogruppi di tale ordine in $A_4$. Quindi non ci sono omomorfismi.

-se $|N|=2$:
$|Im(\varphi)|=9$, ma 9 non divide 12 e quindi non può essere sottogruppo di $A_4$, quindi non ci sono omomorfismi.

-se $|N|=9$:
$|Im(\varphi)|=2$, i sottogruppo di $A_4$ di tale ordine sono:
$H_1=\{id,(12)(34)\}$
$H_2=\{id,(13)(24)\}$
$H_3=\{id,(14)(23)\}$
N per quanto visto nel punto (a) deve essere $<4>$, che ha indice 2 in G, quindi le classi laterali sono:
$idN=N$
$2N=\{2,8,5,20,26,23,11,17,14\}$
quindi fli omomorfismi sono 3:
$\psi':G\rightarrow H_1 \mbox{ tale che se } g\in N \mbox{ associa } id \mbox{ e se } g\in 2N \mbox{ associa } (12)(34)$;
$\psi'':G\rightarrow H_2 \mbox{ tale che se } g\in N \mbox{ associa } id \mbox{ e se } g\in 2N \mbox{ associa } (13)(24)$;
$\psi''':G\rightarrow H_3 \mbox{ tale che se } g\in N \mbox{ associa } id \mbox{ e se } g\in 2N \mbox{ associa } (14)(23)$.

-se $|N|=6$:
$|Im(\varphi)|=3$, i sottogruppi con tale ordine in $A_4$ sono:
$H_1=\{id,(123),(132)\}$
$H_2=\{id,(142),(124)\}$
$H_3=\{id,(234),(243)\}$
mentre con lo stesso procedimento del punto (a) abbiamo $<8>$ è un sottogruppo normale in G con ordine 6 e quindi poniamo $N=<8>$,che ha indice 3 in G e le classi laterali sono:
N
2N
4N
e quindi facendo le varie combinazioni (come nel caso precedente) abbiamo 6 omomorfismi:
$\varphi':G\rightarrow H_1 \mbox{ tale che se } g\in N \mbox{ associa } id \mbox{ , se } g\in 2N \mbox{ associa } (123) \mbox{ e se } g\in 4N \mbox{ associa } (132)$;
eccecc..

fine esercizio (b)

[size=150]DUBBIO AMLETICO NEL FINALE DEL (b)[/size]: come faccio ad essere sicuro che non ci siano altri sottogruppi di ordine 6 che siano normali in G e quindi poi trovare altri omomorfismi ancora?!!? devo andare a fare tutte le prove possibili oppure c è qualche criterio che mi può aiutare?

(c) Si fissi un omomorfismo $\varphi:G\rightarrowA_4$ tale che $|Im(\varphi)|=3$. Poichè $A_4\subset S_4$ l'omomorfismo $\varphi$ definisce una rappresentazione da G in S_4 dell'azione di G su X={1,2,3,4}.
Allora calcolare i sottogruppi di G stabilizzatori degli elementi di X={1,2,3,4}
(premetto che di questo penso di non avere capito quasi niente ma mi sono lanciato lo stesso)

sia $\varphi:=\varphi'$ che avevamo trovato nel punto b.
avendo un azione come dice la traccia noi abbiamo praticamente la sua rappresentazione come:
$\psi:G\rightarrow S_4$ tale che se $g \in G$ associa $\psi_g=\varphi(g)$ che ricordiamo essere

$\varphi(i)=id \mbox{ con } i \in \{1,8,10,26,19,17\}=N=<4>$
$\varphi(i)=(123) \mbox{ con } i \in \{2,16,20,25,11,7\}=2N$
$\varphi(i)=(132) \mbox{ con } i \in \{4,5,13,23,22,14\}=4N$
quindi, indicando con $*$ l'azione di G su X={1,2,3,4}:
$stab(1)=N$ perchè se $g\in 2N$ risulta $g*1=2$; se $g\in 4N$ risulta $g*1=3$;
$stab(2)=N$ perchè se $g\in 2N$ risulta $g*2=3$; se $g\in 4N$ risulta $g*2=1$;
$stab(3)=N$ perchè se $g\in 2N$ risulta $g*3=1$; se $g\in 4N$ risulta $g*3=2$;
$stab(4)=G$ perchè per ogni $g\in G$ risulta $g*4=4$.

fine del punto (c)

grazie in anticipo dell'aiuto e della pazienza per leggere tutto.

[Pappappero1]

Per quanto riguarda le soluzioni da te date, non vedo nessun problema. Non mi sono soffermato troppo sul punto (c), ma visto che si basa fondamentalmente su come sono fatti i morfismi definiti in (b) non vedo problemi lampanti.

Ti rispondo al 'Dubbio Ameletico':

In questo caso particolare il tuo gruppo $G$ è un gruppo ciclico, in quanto gruppo moltiplicativo di un campo finito (e comunque hai trovato tu stesso il generatore).

Il teorema di struttura dei gruppi ciclici afferma che per ogni divisore dell'ordine del gruppo esiste un unico sottogruppo che ha quel divisore come ordine e un unico sottogruppo che ha come indice quel divisore. Più precisamente:

$G$ ciclico $|G|=n$.
$\forall d$ t.c. $d|n$, $\exists ! \ H \le G$ t.c. $|H|=d$ e $\exists ! \ K \le G$ t.c. $|G:K|=d$. Inoltre è immediato osservare che $H$ e $K$ sono ciclici e che $H \cong G/K$.

Quindi nel caso di gruppi ciclici la situazione è particolarmente semplice e sei sicuro di avere un solo sottogruppo. Inoltre $G$ è abeliano, quindi non ci sono mai problemi con la normalità.

In generale questo non può essere garantito e quindi è necessario dover considerare tutti i sottogruppi dell'ordine richiesto e fare diversi casi trovando diversi morfismi a seconda di quale sottogruppo si considera come nucleo del morfismo.

[drughe]

ok ti ringrazio. ma un altra domanda: il fatto che si sia dato per scontato nel punto (c) che quella dell'omomorfismo è una rappresentazione dell'azione, cioè rispetta le due proprietà di azione, dipende dal fatto che l'immagine ha dimensione 3? oppure dal fatto stesso che è un omomorfismo? oppure è un caso particolare per questo gruppo?