Esercizio di calcolo combinatorio
Ciao, questo è il testo dell'esercizio:
(i) Abbiamo 20 diversi regali da distribuire a 12 bambini distinti; in quanti modi possiamo
farlo, se non abbiamo alcuna restrizione sul numero di regali da dare ad ogni bambino?
(ii) Adesso abbiamo 20 diversi tipi di regali, e per ogni tipo ne abbiamo una quantità illimitata
(per chiarezza: regali dello stesso tipo sono identici). In quanti modi possiamo distribuirli ai
12 bambini (distinti), sotto la sola condizione che nessun bambino può ricevere due o più regali
dello stesso tipo?
i) è come avere una stringa di lunghezza 20, dove ogni unità di stringa può assumere un valore compreso tra 1 e 12. Quindi si hanno $12^20$ modi diversi.
ii) ciascun bambino riceve o non riceve ciascuno dei 20 tipi di regali, quindi $2^20$ modi per ogni bambino. Quindi per 12 bambini, si hanno $($2^20$)^12$ modi diversi?
(i) Abbiamo 20 diversi regali da distribuire a 12 bambini distinti; in quanti modi possiamo
farlo, se non abbiamo alcuna restrizione sul numero di regali da dare ad ogni bambino?
(ii) Adesso abbiamo 20 diversi tipi di regali, e per ogni tipo ne abbiamo una quantità illimitata
(per chiarezza: regali dello stesso tipo sono identici). In quanti modi possiamo distribuirli ai
12 bambini (distinti), sotto la sola condizione che nessun bambino può ricevere due o più regali
dello stesso tipo?
i) è come avere una stringa di lunghezza 20, dove ogni unità di stringa può assumere un valore compreso tra 1 e 12. Quindi si hanno $12^20$ modi diversi.
ii) ciascun bambino riceve o non riceve ciascuno dei 20 tipi di regali, quindi $2^20$ modi per ogni bambino. Quindi per 12 bambini, si hanno $($2^20$)^12$ modi diversi?
Risposte
mi sembra OK. ciao.
Grazie per il feedback.
E invece questo:
Quanti numeri interi strettamente positivi hanno tutte le cifre diverse?
Devo contare i numeri con 1,2,3,4,...,10 cifre tutte diverse, che non iniziano con 0 (per esempio 0143 non è ammesso), escludendo il numero 0.
Prendo per esempio un numero da 10 cifre:
-nella 1° posizione ho 9 possibili scelte (la cifra 0 è esclusa)
-nella 2° posizione ho 9 possibili scelte (tolgo la cifra scelta per prima, ma a questo punto la cifra 0 torna a valere)
-nella 3° posizione ho 8 possibili scelte
....
Quindi in totale ho $9*9!$ numeri possibili.
In pratica per la prima cifra ho sempre 9 possibili scelte, quindi sommando tutti i possibili numeri da 1 a 10 cifre ottengo
$\sum_{n=1}^9 9*(9!)/((9-n+1)!)$$=$$9*\sum_{n=1}^9 (9!)/((9-n+1)!)$
Vi sembra corretto?
E invece questo:
Quanti numeri interi strettamente positivi hanno tutte le cifre diverse?
Devo contare i numeri con 1,2,3,4,...,10 cifre tutte diverse, che non iniziano con 0 (per esempio 0143 non è ammesso), escludendo il numero 0.
Prendo per esempio un numero da 10 cifre:
-nella 1° posizione ho 9 possibili scelte (la cifra 0 è esclusa)
-nella 2° posizione ho 9 possibili scelte (tolgo la cifra scelta per prima, ma a questo punto la cifra 0 torna a valere)
-nella 3° posizione ho 8 possibili scelte
....
Quindi in totale ho $9*9!$ numeri possibili.
In pratica per la prima cifra ho sempre 9 possibili scelte, quindi sommando tutti i possibili numeri da 1 a 10 cifre ottengo
$\sum_{n=1}^9 9*(9!)/((9-n+1)!)$$=$$9*\sum_{n=1}^9 (9!)/((9-n+1)!)$
Vi sembra corretto?
sì. un altro modo per vederlo è fare la differenza tra tutti i numeri con 10 cifre distinte (compresi quelli che iniziano per 0) e quelli che appunto iniziano per 0:
$10!-9! = 9!(10-1) = 9!*9$.
ti consiglio di provare a fare un esercizio che ho postato qualche giorno fa in questa sezione e ischia di cadee nel dimenticatoio: "funzioni tra insiemi finiti"...
ciao.
$10!-9! = 9!(10-1) = 9!*9$.
ti consiglio di provare a fare un esercizio che ho postato qualche giorno fa in questa sezione e ischia di cadee nel dimenticatoio: "funzioni tra insiemi finiti"...
ciao.
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