Esercizio di algebra
Salve a tutti, c'è un esercizio di algebra dove non riesco a trovare l'errore.
L'esercizio in questione dice: trovare un campo con 27 elementi. Ho provato con il seguente anello Z/3Z[cos(2/3pigreco)+isen(2/3 pigreco)] cioè il più piccolo anello contenente Z/3Z e la radice cubica dell'unità che chiamerò per comodità u. Studiando gli elementi di tale anello mi accorgo che elevando a potenza u dopo 3 step ritorno al numero di partenza; inoltre gli elementi di Z/3Z sono 3. Quindi un generico polinomio di Z/3Z si scriverà : a+bu+cu^2 con a,b,c appartenenti a Z/3Z. La cardinalità di tale insieme è quindi 3^3=27 e, usando la proposizione che dice dato un anello R allora R dominio se e solo se R[x] lo è, ottengo che Z/3Z dominio perchè Z/3Z lo è essendo 3 primo. Un dominio con un numero finito di elementi è anche un campo. Ho usato proposizioni dimostrate e sembra tutto giusto ma in realtà dicono che sia errato sapresta dirmi dove?
Grazie.
L'esercizio in questione dice: trovare un campo con 27 elementi. Ho provato con il seguente anello Z/3Z[cos(2/3pigreco)+isen(2/3 pigreco)] cioè il più piccolo anello contenente Z/3Z e la radice cubica dell'unità che chiamerò per comodità u. Studiando gli elementi di tale anello mi accorgo che elevando a potenza u dopo 3 step ritorno al numero di partenza; inoltre gli elementi di Z/3Z sono 3. Quindi un generico polinomio di Z/3Z si scriverà : a+bu+cu^2 con a,b,c appartenenti a Z/3Z. La cardinalità di tale insieme è quindi 3^3=27 e, usando la proposizione che dice dato un anello R allora R dominio se e solo se R[x] lo è, ottengo che Z/3Z dominio perchè Z/3Z lo è essendo 3 primo. Un dominio con un numero finito di elementi è anche un campo. Ho usato proposizioni dimostrate e sembra tutto giusto ma in realtà dicono che sia errato sapresta dirmi dove?
Grazie.
Risposte
Devi utilizzare i codici per scrivere le formule, altrimenti non si capisce niente.
Sia $p$ un primo. Un campo di $p^k$ elementi ha la forma
$Z_p[X]$/$(f)$ dove $f$ e' un polinomio irriducibile di grado $k$ in $Z_p[X]$.
Basta quindi esibire un polinomio irriducibile di grado $3$ in $Z_3[X]$.
Per esempio $X^3 -X + 1$.
Se ho capito bene, squall90 propone il polinomio $f=X^3-1$.
Con questa scelta si ottiene un anello di $27$ elementi, ma
non e' un campo, perche' $X^3-1$ non e' irriducibile in $Z_3[X]$.
$Z_p[X]$/$(f)$ dove $f$ e' un polinomio irriducibile di grado $k$ in $Z_p[X]$.
Basta quindi esibire un polinomio irriducibile di grado $3$ in $Z_3[X]$.
Per esempio $X^3 -X + 1$.
Se ho capito bene, squall90 propone il polinomio $f=X^3-1$.
Con questa scelta si ottiene un anello di $27$ elementi, ma
non e' un campo, perche' $X^3-1$ non e' irriducibile in $Z_3[X]$.
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