Esercizio di algebra...
Salve a tutti...ho un esercizio di algebra che non so svolgere...Help meeeee!!!!:(
Posto H:{$((a,0),(c,a))$ /a∈$Z*_6$ ,c∈$Z_6$} si scrivano,se esistono,gli elementi di H di periodo 2,3,6!
Poi,posto N={ $((1,0),(2c,1))$/ c∈$Z_6$}si studi il gruppo quoziente H/N determinandone l'ordine,gli elementi e la struttura!!!
Grazie mille in anticipo!!!
Posto H:{$((a,0),(c,a))$ /a∈$Z*_6$ ,c∈$Z_6$} si scrivano,se esistono,gli elementi di H di periodo 2,3,6!
Poi,posto N={ $((1,0),(2c,1))$/ c∈$Z_6$}si studi il gruppo quoziente H/N determinandone l'ordine,gli elementi e la struttura!!!
Grazie mille in anticipo!!!
Risposte
La potenza $n$-sima di un elemento di $H$ è
$((a^n,0),(na^{n-1}c,a^n))$.
Si deve determinare quando questa matrice coincide con la matrice identica.
Inizia col considerare $a^n = 1$. Oltre al caso banale di $a=1$, l'uguaglianza è verificata soltanto da $5^2 = 1$, $5^4$ e $5^6$.
Quando $a=1$, la seconda uguaglianza $nc=0$ da verificare suggerisce che il periodo di $((1,0),(c,1))$ è quello di $c$ in ${\mathbb Z_6,+}$.
Poniamo ora $a=5$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $2$:
$((5,0),(c,5)) ((5,0),(c,5)) = ((1,0),(4 c,1))$,
l'equazione $4c=0$ è soddisfatta da $c=3$ e $c=0$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $4$
$((5,0),(c,5))^4 = ((1,0),(4 \cdot 5^3 c,1))$,
ma l'equazione $4 \cdot 5 ^3 c=0$ non da' altri elementi periodici di $H$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $6$
$((5,0),(c,5))^6 = ((1,0),(6 * 5^5 c,1))$,
e l'equazione $6 \cdot 5^5 c=0$ è soddisfatta da ogni $c$.
Spero di averti aiutato un po'
$((a^n,0),(na^{n-1}c,a^n))$.
Si deve determinare quando questa matrice coincide con la matrice identica.
Inizia col considerare $a^n = 1$. Oltre al caso banale di $a=1$, l'uguaglianza è verificata soltanto da $5^2 = 1$, $5^4$ e $5^6$.
Quando $a=1$, la seconda uguaglianza $nc=0$ da verificare suggerisce che il periodo di $((1,0),(c,1))$ è quello di $c$ in ${\mathbb Z_6,+}$.
Poniamo ora $a=5$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $2$:
$((5,0),(c,5)) ((5,0),(c,5)) = ((1,0),(4 c,1))$,
l'equazione $4c=0$ è soddisfatta da $c=3$ e $c=0$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $4$
$((5,0),(c,5))^4 = ((1,0),(4 \cdot 5^3 c,1))$,
ma l'equazione $4 \cdot 5 ^3 c=0$ non da' altri elementi periodici di $H$.
Cerchiamo gli elementi di ordine $6$
$((5,0),(c,5))^6 = ((1,0),(6 * 5^5 c,1))$,
e l'equazione $6 \cdot 5^5 c=0$ è soddisfatta da ogni $c$.
Spero di averti aiutato un po'
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