Esercizio da risolvere sui gruppi
Ciao, ho bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Nel gruppo additivo $(RR^2; +)$ si consideri il sottogruppo
$H = {(x,5x)|x in RR}$.
Si studi il quoziente G/H, determinando geometricamente i suoi elementi; si provi
poi che G/H µe isomorfo a $(RR; +)$.
Nel gruppo additivo $(RR^2; +)$ si consideri il sottogruppo
$H = {(x,5x)|x in RR}$.
Si studi il quoziente G/H, determinando geometricamente i suoi elementi; si provi
poi che G/H µe isomorfo a $(RR; +)$.
Risposte
Se ha una coppia $\lambda = (a,b)$ allora $\lambda H = (a,b)H = (0,b-5a)H$
Beh, dunque..
se prendiamo H come la retta y=5x sul piano di RxR, a questo punto le classi di equivalenza di G/H sono tutte le rette parallele a y=5x.
Detto questo possiamo notare ceh ovviamente tutte queste rette passano per l' asse x, o detta in altri termini:
per ogni classe di equivalenza (a,b)+H possiamo scrivere:
[tex](a,b) + H = (k,0) + H[/tex] , per un certo k reale.
ora creiamo il nostro isomorfismo:
[tex]f: G/H \rightarrow \Re[/tex]
[tex](k,0)+H \rightarrow k[/tex]
può andare?
l' ideale sarebbe precisare un modo algebrico per tradurre ogni classe di equivalenza nel modo da noi richiesto..
e domani può essere un buon giorno per farlo..
se prendiamo H come la retta y=5x sul piano di RxR, a questo punto le classi di equivalenza di G/H sono tutte le rette parallele a y=5x.
Detto questo possiamo notare ceh ovviamente tutte queste rette passano per l' asse x, o detta in altri termini:
per ogni classe di equivalenza (a,b)+H possiamo scrivere:
[tex](a,b) + H = (k,0) + H[/tex] , per un certo k reale.
ora creiamo il nostro isomorfismo:
[tex]f: G/H \rightarrow \Re[/tex]
[tex](k,0)+H \rightarrow k[/tex]
può andare?
l' ideale sarebbe precisare un modo algebrico per tradurre ogni classe di equivalenza nel modo da noi richiesto..
e domani può essere un buon giorno per farlo..
"Hop Frog":
Beh, dunque..
se prendiamo H come la retta y=5x sul piano di RxR, a questo punto le classi di equivalenza di G/H sono tutte le rette parallele a y=5x.
Detto questo possiamo notare ceh ovviamente tutte queste rette passano per l' asse x, o detta in altri termini:
per ogni classe di equivalenza (a,b)+H possiamo scrivere:
[tex](a,b) + H = (k,0) + H[/tex] , per un certo k reale.
ora creiamo il nostro isomorfismo:
[tex]f: G/H \rightarrow \Re[/tex]
[tex](k,0)+H \rightarrow k[/tex]
può andare?
l' ideale sarebbe precisare un modo algebrico per tradurre ogni classe di equivalenza nel modo da noi richiesto..
e domani può essere un buon giorno per farlo..
Leggermi ogni tanto!?Ho già determinato a cosa consisteva quel [tex]k[/tex] cioè [tex]k=a-\frac15b[/tex]
Grazie, per l'aiuto. A presto!!!
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