Esercizio: contare le funzioni
Salve a tutti, mi state aiutando con molti esercizi e vi ringrazio.
Ho un altro esercizio che non riesco in parte a risolvere, il numero 2 del link.
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/MatDisc2009/Pages/compito1lug.pdf
Per il punto 1 è facile, le funzioni sono $4^(2n)$
Per il punto 2 ho pensato di togliere al numero totale di funzioni, le funzioni di dominio 2n elementi e codominio di 2 elementi, quindi $4^(2n) - 2^(2n)$ ma non sono tanto sicuro.
Per gli altri punti, ancora ci devo ragionare, ma una dritta sarebbe gradita.
Grazie mille in anticipo.
Ho un altro esercizio che non riesco in parte a risolvere, il numero 2 del link.
http://www.dm.unipi.it/~gaiffi/MatDisc2009/Pages/compito1lug.pdf
Per il punto 1 è facile, le funzioni sono $4^(2n)$
Per il punto 2 ho pensato di togliere al numero totale di funzioni, le funzioni di dominio 2n elementi e codominio di 2 elementi, quindi $4^(2n) - 2^(2n)$ ma non sono tanto sicuro.
Per gli altri punti, ancora ci devo ragionare, ma una dritta sarebbe gradita.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
per il punto 2, stavolta l'ho trovato io il ragionamento e la formula puliti! 
tu pensa di avere questi $2n$ elementi, uno lo mandi in $1$, uno lo mandi in $4$, e allora quanti te ne rimangono liberi?
$2n-2$ e puoi mandarli dove ti pare, quindi hai $4^(2n-2)$ possibilità.
il 3 pare simile, ma non troppo, ti lascio pensare poi semmai riposta il tuo metodo.
tu pensa di avere questi $2n$ elementi, uno lo mandi in $1$, uno lo mandi in $4$, e allora quanti te ne rimangono liberi?
$2n-2$ e puoi mandarli dove ti pare, quindi hai $4^(2n-2)$ possibilità.
il 3 pare simile, ma non troppo, ti lascio pensare poi semmai riposta il tuo metodo.
benvenuto nel forum.
la risposta che hai dato mi pare sia giusta per il terzo punto, non per il secondo. infatti se togli tutte le funzioni con codominio {2,3} vuol dire che almeno un elemento deve corrispondere a 1 oppure a 4, non necessariamente che le due cose debbano valere entrambe.
prova a rifletterci su, intanto ci penso anch'io.
facci sapere. ciao.
la risposta che hai dato mi pare sia giusta per il terzo punto, non per il secondo. infatti se togli tutte le funzioni con codominio {2,3} vuol dire che almeno un elemento deve corrispondere a 1 oppure a 4, non necessariamente che le due cose debbano valere entrambe.
prova a rifletterci su, intanto ci penso anch'io.
facci sapere. ciao.
Hai ragione.. non ci avevo pensato... sarà che è troppo tempo che sto sopra i libri..
Per il punto 3 ragionandoci, credo che la risposta è quella che ho tentato di dare per il punto 2, cioè prendo tutte le funzioni possibili e tolgo quelle che vanno solo in 2 e 3.
Cosa ne pensi ?
Per adaBTTLS: infatti ci sono arrivato mentre postavi il tuo messaggio.
Per il punto 3 ragionandoci, credo che la risposta è quella che ho tentato di dare per il punto 2, cioè prendo tutte le funzioni possibili e tolgo quelle che vanno solo in 2 e 3.
Cosa ne pensi ?
Per adaBTTLS: infatti ci sono arrivato mentre postavi il tuo messaggio.
io ho qualche dubbio che possa essere giusta la formula di blackbishop13, perché più volte siamo incappati, anche in questo forum, in eccessive semplificazioni.
qualche obiezione: mancherebbe $((2n),(2))*2$, numero di modi di scegliere i due elementi per farli corrispondere a 1 e 4, ma questo sarebbe il minimo; soprattutto, se ci aggiungessi quando ho suggerito io, mica saremmo tanto sicuri che ogni funzione sia contata una sola volta?
io suggerirei di fare la prova con l'altro risultato modificato, considerando anche le funzioni tali che 4 e non 1 oppure 1 e non 4 appartengono al codominio.
ciao.
qualche obiezione: mancherebbe $((2n),(2))*2$, numero di modi di scegliere i due elementi per farli corrispondere a 1 e 4, ma questo sarebbe il minimo; soprattutto, se ci aggiungessi quando ho suggerito io, mica saremmo tanto sicuri che ogni funzione sia contata una sola volta?
io suggerirei di fare la prova con l'altro risultato modificato, considerando anche le funzioni tali che 4 e non 1 oppure 1 e non 4 appartengono al codominio.
ciao.
Ci sto ragionando ancora sul 2° punto, non ho capito perchè hai moltiplicato per 2 però...
Per scegliere i due elementi da mandare in 1 e 4, su 2n elementi possibili dovrebbe bastare solo il coefficiente binomiale.
Per scegliere i due elementi da mandare in 1 e 4, su 2n elementi possibili dovrebbe bastare solo il coefficiente binomiale.
il 2 era semplicemente perché, una volta scelti i due elementi, ad esempio $a,b$, puoi associare $a->1,b->4$ oppure $a->4,b->1$, però penso comunque che non basti questo fattore da moltiplicare a $4^(2n-2)$, perché, ad esempio, se hai scelto i due elementi ed hai fatto $a->1$, prendi un elemento $c$ e lo associ ad $1$, non ottieni la stessa funzione se prima scegli i due elementi $c,d$ e fai $c->1,d->4$ e poi tra gli altri elementi associ $a$ ad $1$ ?
non è completo il ragionamento, ma spero che renda l'idea.
non è completo il ragionamento, ma spero che renda l'idea.
Ho capito perchè moltiplichi per 2, ma non ho capito la frase successiva, è un pò contorta...
volevo solo dire che, ad esempio, se hai come dominio {a,b,c,d} e come codominio {1,2,3,4}, la funzione tale che {a,c}->{1} e {b,d}->4 risponde al tuo problema, va viene contata ben quattro volte, scegliendo inizialmente (a,b), (a,d), (b,c), (c,d) ... OK?
Si ho capito, bhè mi sembra giusto contarla 4 volte, il dominio è lo stesso ma le "frecce" cambiano. O mi sbaglio ?
no, è sempre la stessa funzione : $a->1,b->4,c->1,d->4$.
o no?
o no?
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