Esercizio con gruppi ciclici

[saltimbanca]

Volevo chiedere una mano con questo esercizio

Indicare quali dei seguenti sono gruppi ciclici: $(Z_12^(xx),⋅), (Z_9^(xx),⋅)$ e $(Z_7^(xx),⋅)$

Sono partita considerando esplicitamente:

$(Z_12^(xx),⋅)={1,5,7,11}$, $(Z_9^(xx),⋅)={1,2,4,5,7,8}$ e $(Z_7^(xx),⋅)={1,2,3,4,5,6}$

Pensavo poi di sfruttare il fatto che $ =G<=>o rd(g)=|G|$ cioè G è ciclico con generatore g elemento in G se e solo se l'ordine di quel g è pari alla carinalità del G in studio.

Tuttavia mi sembra molto calcoloso come metodo perché ora dovrei considerare le tre cardinalità che sono 4,6,6 e provare per ogni elemento per trovare almeno uno che renda vero $g^n=1_G=1$ con n uguale alle cardinalità 4,6,6.

Solo che le potenze crescono in fretta e poi mi ritrovo a dover ridurre modulo 12, 9, 7 quanto trovato e la probabilità di errore è elevata
tipo $6^6=46656$ e havoglia a ridurlo modulo 7: $46656-7*x$ e rientrare in un rappresentante canonico

Qualche idea migliore? Grazie per l'aiuto

[hydro1]

Conosci il teorema cinese del resto?

Comunque per ridurre $6^6$ modulo $7$ non c'è bisogno di calcolare $6^6$ in $\mathbb Z$ e poi ridurlo modulo $7$, ci sono modi molto più rapidi. Ad esempio, $6=-1\mod 7$. Oppure puoi ridurre passo a passo: calcoli $6^2$ e poi lo riduci, poi moltiplichi il risultato per 6, riduci di nuovo e così via.

[saltimbanca]

Sì certo è vero potrei sostituire il rappresentante -1 al canonico 6, però effettivamente è più calcoloso.

Per la prima domanda sì, lo conosco. Uh dici tipo di sfruttare la biiezione $Z_(ab)->Z_axxZ_b$[nota]a patto di scrivere come a*b tali che MCD(a,b)=1[/nota]? E sfruttare la ciclicità di elementi più semplici $([x]_a,[x]_b)$. Devo però pensarci su, perché la biiezione preserva la ciclicità. Sempre che abbia colto l'hint e non stia parlando a vanvera .

[hydro1]

"saltimbanca":Sì certo è vero potrei sostituire il rappresentante -1 al canonico 6, però effettivamente è più calcoloso.

Ah è più calcoloso vedere che $(-1)^6=1$ piuttosto che $ 46656\equiv 1 \mod 7$? interessante

Sì tipo puoi usare il fatto che il prodotto di gruppi ciclici di ordini coprimi è ciclico. Oppure puoi anche notare cose tipo: se un gruppo ha ordine $6$ e dentro c'è un elemento $g$ tale che $g^2,g^3$ sono entrambi diversi da 1, allora il gruppo è ciclico.

[saltimbanca]

Ah è più calcoloso vedere che (−1)6=1 piuttosto che 46656≡1mod7? interessante

Ahahah eh si sono una calcolatrice vivtente

No, in realtà intendevo dire è meno calcoloso del ridurlo come volevo fare, ma più calcoloso rispetto a un metodo più intelligente che non mi veniva in mente (tipo il thm cinese)

Sì tipo puoi usare il fatto che il prodotto di gruppi ciclici di ordini coprimi è ciclico

Che è una conseguenza di quello che dicevo sopra? Però non ho capito come mai rimanga ciclico e dello stesso ordine di $Z_(ab)$, non mi è così evidente.