Esercizio con dominio a fattorizzazione unica
mostrare che se $B$ è un dominio a fattorizzazione unica e $0!=binB$ allora $B/(bX − 1)$ è ancora un dominio a fattorizzazione unica.
Allora intanto non mi ridà il fatto che sia $B/(bX − 1)$ e non $(B[X])/(bX − 1)$, infatti se prendessi $B=ZZ$ non avrebbe senso il quoziente $ZZ/(bX − 1)$ in quanto $(bX − 1)$ non è ideale di $ZZ$. Però vabbe a parte questo (di cui potrei pure sbagliarmi avendo capito male) ragionando in $(B[X])/(bX − 1)$ ho pensato così: gli elementi sono della forma $[a/b^n]_((bX − 1))$ con $ainB$. Per cui supponiamo per assurdo ci sia un elemento che ammette due fattorizzazioni in irriducibili ovvero $[a/b^n]_((bX − 1))=[p_1/b^(n_1)]_((bX − 1))*...*[p_r/b^(n_r)]_((bX − 1))=[q_1/b^(m_1)]_((bX − 1))*...*[q_s/b^(m_s)]_((bX − 1))$ con $p_1,..p_r,q_1,...,q_s$ irriducibili di $B$. Poichè $[1/b^k]$ è invertibile per ogni $k$ a meno di associati abbiamo che $[p_i]!=[q_j]$ per ogni $i,j$(poichè stiamo supponendo che le due fattorizzazioni siano diverse) e quindi $deg(p_i)<1$ e $deg(q_j)<1$ allora $p_i!=q_j$ per ogni $i,j$. Inoltre abbiamo che $[p_1*...*p_r]=[q_1*...*q_s]$ e poichè $deg(p_1*...*p_r)<1$ e $deg(q_1*...*q_s)<1$ allora $p_1*...*p_r=q_1*...*q_s$ ma allora avrei ottenuto due fattorizzazioni diverse in irriducibili in $B$ assurdo. Può andare bene?
Allora intanto non mi ridà il fatto che sia $B/(bX − 1)$ e non $(B[X])/(bX − 1)$, infatti se prendessi $B=ZZ$ non avrebbe senso il quoziente $ZZ/(bX − 1)$ in quanto $(bX − 1)$ non è ideale di $ZZ$. Però vabbe a parte questo (di cui potrei pure sbagliarmi avendo capito male) ragionando in $(B[X])/(bX − 1)$ ho pensato così: gli elementi sono della forma $[a/b^n]_((bX − 1))$ con $ainB$. Per cui supponiamo per assurdo ci sia un elemento che ammette due fattorizzazioni in irriducibili ovvero $[a/b^n]_((bX − 1))=[p_1/b^(n_1)]_((bX − 1))*...*[p_r/b^(n_r)]_((bX − 1))=[q_1/b^(m_1)]_((bX − 1))*...*[q_s/b^(m_s)]_((bX − 1))$ con $p_1,..p_r,q_1,...,q_s$ irriducibili di $B$. Poichè $[1/b^k]$ è invertibile per ogni $k$ a meno di associati abbiamo che $[p_i]!=[q_j]$ per ogni $i,j$(poichè stiamo supponendo che le due fattorizzazioni siano diverse) e quindi $deg(p_i)<1$ e $deg(q_j)<1$ allora $p_i!=q_j$ per ogni $i,j$. Inoltre abbiamo che $[p_1*...*p_r]=[q_1*...*q_s]$ e poichè $deg(p_1*...*p_r)<1$ e $deg(q_1*...*q_s)<1$ allora $p_1*...*p_r=q_1*...*q_s$ ma allora avrei ottenuto due fattorizzazioni diverse in irriducibili in $B$ assurdo. Può andare bene?
Risposte
Quell’anello è isomorfo alla localizzazione di $B$ in $b$.
hydro:
Quell’anello è isomorfo alla localizzazione di $B$ in $b$.
Scusami ma se io prendessi ad esempio $ZZ[X]_(/(nx+1))$ con $0!=ninZZ$ quest'ultimo non è isomorfo a $Z[1/n]$ (che è diverso dalla localizzazione $ZZ_((p))$ con $p$ primo)?
Forse intendevi dire che isomorfo a $B[1/b]={a/b^n|ainB,n>=0}$. Quindi se mostrassi che $B[1/b]$ è UFD allora per isomorfismo anche $ B/(bX − 1) $ lo è?
"andreadel1988":
Forse intendevi dire che isomorfo a $B[1/b]={a/b^n|ainB,n>=0}$. Quindi se mostrassi che $B[1/b]$ è UFD allora per isomorfismo anche $ B/(bX − 1) $ lo è?
Esatto
"hydro":
Esatto
E come si fa a dimostrare che $B[1/b]={a/b^n|ainB,n>=0}$ è a fattorizzazione unica?
Ogni localizzazione $S^{-1}A$ di un UFD $A$ e’ un UFD.
Qua $S$ e’ un sottoinsieme moltiplicativo di $A$.
Cioe’, si ha che $1\in S$ e se $s,t\in S$ anche $st\in S$.
Nel tuo caso $S$ consiste nelle potenze di $b$.
Si veda UCSD Qualifying exam 2012, Problem 2
(https://math.ucsd.edu/sites/math.ucsd.e ... a_Qual.pdf)
Qua $S$ e’ un sottoinsieme moltiplicativo di $A$.
Cioe’, si ha che $1\in S$ e se $s,t\in S$ anche $st\in S$.
Nel tuo caso $S$ consiste nelle potenze di $b$.
Si veda UCSD Qualifying exam 2012, Problem 2
(https://math.ucsd.edu/sites/math.ucsd.e ... a_Qual.pdf)
"Stickelberger":
Ogni localizzazione $S^{-1}A$ di un UFD $A$ e’ un UFD.
Qua $S$ e’ un sottoinsieme moltiplicativo di $A$.
Cioe’, si ha che $1\in S$ e se $s,t\in S$ anche $st\in S$.
Nel tuo caso $S$ consiste nelle potenze di $b$.
Si veda UCSD Qualifying exam 2012, Problem 2
(https://math.ucsd.edu/sites/math.ucsd.e ... a_Qual.pdf)
Piu semplicemente nel mio caso non si potrebbe dire che se prendo due scomposizioni in irriducibili $a/b^n=p_1/b^(n_1)*...*p_r/b^(n_r)=q_1/b^(m_1)*...*q_s/b^(m_s)$ con $ p_1,..,p_r,q_1,...,q_s $ irriducibili di $B$. Si deve avere necessariamente che $a=p_1*...*p_r=q_1*...*q_s $ ma $B$ è UFD perciò $r=s$ e (a meno dell'ordine) $p_i$ è associato a $q_i$ per ogni $i$. Poi noto che gli invertibili di $ B[1/b]={a/b^n|ainB,n>=0}$ sono della forma $b^k$ con $kinZZ$ per cui $p_i/b^(n_i)$ e $q_i/b^(m_i)$ sono associati e quindi $a/b^n$ si fattorizza in modo unico (a meno di associati) in irriducibili, per cui $B[1/b]$ è UFD
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