Esercizio classi resto.
Salve a tutti , vi riscrivo per porvi un'altro quesito.
In un esercizio da tema d'esame ho la seguente traccia.
Determinare tutti gli elementi $\alpha in ZZ_34$ tali che $\alpha^2 = \alpha$.
Può sembrare banale come esercizio, ma ho dubbi sul suo svolgimento, o meglio sul mio modo di ragionare.
Io ho ragionato cosi.
Poiché per la seconda formulazione del Th. Cinese dei resti $ZZ_34~=ZZ_2 x ZZ_17$. Il problema dato è equivalente risolvere tale sistema :
$\{([\alpha^2]_2 = [\alpha]_2),([\alpha^2]_17 = [\alpha]_17):}$.
Constatando che $(\alpha,2) = 1$ ed $(\alpha,17)=1$ poiché 2 e 17 sono primi. $[\alpha]$ , per ogni $\alpha$ è invertibile sia in $ZZ_2$ che in $ZZ_17$
Pertanto il sistema dato è equivalente a
$\{([\alpha^2]_2 = [1]_2),([\alpha^2]_17 = [1]_17):}$.
ove risolvendo il sistema ottengo che $\alpha -= 1 (mod34)$.
dunque tutte le $\alpha$ sono del tipo $\alpha=1+34k , con k in ZZ$.
Notate qualche pecca nella mia risoluzione, commetto errori concettuali?
grazie per una vostra eventuale risposta
In un esercizio da tema d'esame ho la seguente traccia.
Determinare tutti gli elementi $\alpha in ZZ_34$ tali che $\alpha^2 = \alpha$.
Può sembrare banale come esercizio, ma ho dubbi sul suo svolgimento, o meglio sul mio modo di ragionare.
Io ho ragionato cosi.
Poiché per la seconda formulazione del Th. Cinese dei resti $ZZ_34~=ZZ_2 x ZZ_17$. Il problema dato è equivalente risolvere tale sistema :
$\{([\alpha^2]_2 = [\alpha]_2),([\alpha^2]_17 = [\alpha]_17):}$.
Constatando che $(\alpha,2) = 1$ ed $(\alpha,17)=1$ poiché 2 e 17 sono primi. $[\alpha]$ , per ogni $\alpha$ è invertibile sia in $ZZ_2$ che in $ZZ_17$
Pertanto il sistema dato è equivalente a
$\{([\alpha^2]_2 = [1]_2),([\alpha^2]_17 = [1]_17):}$.
ove risolvendo il sistema ottengo che $\alpha -= 1 (mod34)$.
dunque tutte le $\alpha$ sono del tipo $\alpha=1+34k , con k in ZZ$.
Notate qualche pecca nella mia risoluzione, commetto errori concettuali?
grazie per una vostra eventuale risposta
Risposte
Credo che tu abbia commesso qualche errore qui (non ci ho guardato con attenzione, ho dato solo una rapida occhiata):
Ripartiamo dall'inizio:
\[\alpha^2 = \alpha \qquad \text{ in } \quad \mathbb{Z}_{34}\]
Possiamo limitarci a cercare \(\alpha\) nell'insieme \(\left\{ 0,1, 2, 3, 4, \ldots, 32, 33\right\} \)
"Kashaman":
Il problema dato è equivalente risolvere tale sistema :
$\{([\alpha^2]_2 = [\alpha]_2),([\alpha^2]_17 = [\alpha]_17):}$.
Constatando che $(\alpha,2) = 1$ ed $(\alpha,17)=1$ poiché 2 e 17 sono primi. $[\alpha]$ , per ogni $\alpha$ è invertibile sia in $ZZ_2$ che in $ZZ_17$
Pertanto il sistema dato è equivalente a
$\{([\alpha^2]_2 = [1]_2),([\alpha^2]_17 = [1]_17):}$.
ove risolvendo il sistema ottengo che $\alpha -= 1 (mod34)$.
Ripartiamo dall'inizio:
\[\alpha^2 = \alpha \qquad \text{ in } \quad \mathbb{Z}_{34}\]
Possiamo limitarci a cercare \(\alpha\) nell'insieme \(\left\{ 0,1, 2, 3, 4, \ldots, 32, 33\right\} \)
- [*:1c8dnp2c]Se \( \alpha =0\) oppure \( \alpha =1\) certamente vale quella relazione.[/*:m:1c8dnp2c]
[*:1c8dnp2c]Sia \(\alpha \in \left\{ 2, 3, 4, \ldots, 33\right\} \). Allora \(\alpha-1 >0\) (banalità)
Dobbiamo trovare quando \( \alpha\cdot (\alpha-1) \) è multiplo di \(34\). Ora, \(\alpha\) non può essere multiplo di \(34\). E nemmeno \(\alpha-1\).
Dovrà dunque accadere una di queste due cose:
- [*:1c8dnp2c] \( \alpha\) è multiplo di \(2\) e \(\alpha-1\) è multiplo di \(17\)[/*:m:1c8dnp2c]
[*:1c8dnp2c] \( \alpha\) è multiplo di \(17\) e \(\alpha-1\) è multiplo di \(2\)[/*:m:1c8dnp2c][/list:u:1c8dnp2c]
Siccome l'unico multiplo di \(17\) all'interno dell'insieme \(\left\{ 2, 3, 4, \ldots, 33\right\} \) è \(17\),
o prendiamo \(\alpha=17\) o prendiamo \(\alpha-1= 17\).[/*:m:1c8dnp2c][/list:u:1c8dnp2c]
Pertanto ci sono quattro soluzioni: \( [\alpha]_{34} = [0]_{34} \vee [\alpha]_{34} = [1]_{34} \vee [\alpha]_{34} = [17]_{34} \vee [\alpha]_{34} = [18]_{34} \)
Vediamo se ho capito.
dalla relazione $\alpha^2 = \alpha$ $=>$ $[\alpha^2-\alpha]_34=[0]_34$(1) $<=>$ $34|(\alpha)(\alpha-1)$ Se $\alpha = 0$ oppure $\alpha=1$ la tesi è vera.
Dunque, poiché devo trovare la soluzione in $ZZ_34$ , devo cercare $\alpha in { 2 , 3,......,17,...33}$
Ora poichè $\alpha in { 2 , 3,......,17,...33}$. Si ha che $\alpha-1 >0$.
Dunque devo trovare i valori di $\alpha$ per i quali $34|(\alpha)(\alpha-1)$ ora ne $\alpha$ ne $\alpha-1$ sono multipli di 34 perché appartengono all'insieme {2,3,....33} (coprimi con 34)
dunque ora perchè $ZZ_34 $ è isomorfo a $ZZ_2xZZ_17$. Dovrà succedere che
1) $\alpha$ è multiplo di due e $\alpha -1$ è multiplo di 17
2) viceversa.
Ora poiché l'unico multiplo di 17 in { 2 , 3,......,17,...33} è 17 ,
Dalla uno e dalla due si ha che $\alpha = 17$ oppure $\alpha -1 = 17$
e dunque, le quattro soluzioni sono
$\alpha = 0 ,1 ,17,18 in ZZ_34$.
Giusto?
dalla relazione $\alpha^2 = \alpha$ $=>$ $[\alpha^2-\alpha]_34=[0]_34$(1) $<=>$ $34|(\alpha)(\alpha-1)$ Se $\alpha = 0$ oppure $\alpha=1$ la tesi è vera.
Dunque, poiché devo trovare la soluzione in $ZZ_34$ , devo cercare $\alpha in { 2 , 3,......,17,...33}$
Ora poichè $\alpha in { 2 , 3,......,17,...33}$. Si ha che $\alpha-1 >0$.
Dunque devo trovare i valori di $\alpha$ per i quali $34|(\alpha)(\alpha-1)$ ora ne $\alpha$ ne $\alpha-1$ sono multipli di 34 perché appartengono all'insieme {2,3,....33} (coprimi con 34)
dunque ora perchè $ZZ_34 $ è isomorfo a $ZZ_2xZZ_17$. Dovrà succedere che
1) $\alpha$ è multiplo di due e $\alpha -1$ è multiplo di 17
2) viceversa.
Ora poiché l'unico multiplo di 17 in { 2 , 3,......,17,...33} è 17 ,
Dalla uno e dalla due si ha che $\alpha = 17$ oppure $\alpha -1 = 17$
e dunque, le quattro soluzioni sono
$\alpha = 0 ,1 ,17,18 in ZZ_34$.
Giusto?
"Kashaman":E' inutile scrivere questo. Il resto è corretto
...dunque ora perchè $ZZ_34 $ è isomorfo a $ZZ_2xZZ_17$. Dovrà succedere che ...
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