Esercizio che non torna.....

[klarence1]

Dimostrare che per ogni $n>=0$ $(7^(3n))-1$ è divisibile per $3^(n+1)$

[miuemia]

beh c'è qualcosa che non va chiaramente...
sicuro che è corretta la traccia???

[klarence1]

ho corretto scusate.
l'esercizio non torna.....

[TomSawyer1]

Falso; prendi $n=2$, per esempio.

[gugo82]

"klarence":Dimostrare che per ogni $n>=0$ $(7^(3n))-1$ è divisibile per $3^(n+1)$

La cosa non è vera per $n=2$: difatti $27=3^3$ non divide $117648=7^6-1$.
Forse c'è qualche errore nel testo dell'esercizio.

[klarence1]

http://www.dm.unipi.it/~dvornic/aritmet ... ti0102.pdf

esercizio numero 1....
forse c'è qualche errore di scrittura.

[gugo82]

"klarence":http://www.dm.unipi.it/~dvornic/aritmetica/compiti0102.pdf

esercizio numero 1....
forse c'è qualche errore di scrittura.

Lol hai trascritto male il testo dell'esercizio... l'esponente di 7 è $3^n$, non $3n$!

Devi dimostrare che $AA n in NN, quad 3^(n+1) quad |quad 7^(3^n)-1$ (notazione: per me $aquad | quad b$ significa "$a$ divide $b$") e la cosa si fa facilmente per induzione su $n$.
Per non rovinarti lo sfizio di farla da te, metto la mia dimostrazione nascosta.

La cosa è vera per $n=0$ (banalmente) e per $n=1$, dato che $3^2=9 quad |quad 342=7^3-1$: ciò costituisce una buona base per l'induzione.
Supponiamo che la relazione sia verificata per $n$ e mostriamo che essa è valida pure per $n+1$. Abbiamo:

1) $7^(3^(n+1))-1=[7^(3^n)]^3-1=(7^(3^n)-1)*[(7^(3^n))^2+7^(3^n)+1] qquad => qquad 3^nquad |quad 7^(3^(n+1))-1$ (per l'ipotesi induttiva);

2) $7^(3^(n+1))-1=[7^3]^(3^n)-1=(7^3-1)*\sum_{k=0}^{3^n-1}(7^3)^k qquad => qquad 3quad |quad 7^(3^(n+1))-1$ (per la base dell'induzione);

pertanto $3^(n+1)=3*3^n quad |quad 7^(3^(n+1))-1$, che è quanto volevamo.

Buono studio!

[klarence1]

sisi me ne sono accorto, ora i conti tornano. grazie