Esercizio campo razionale Q
Ciao ragazzi, ho provato a svolgere questo esercizietto ma non so se è corretto, potreste darmi una mano? vi ringrazio in anticipo! L'esercizio chiede:
Si consideri il sottoinsieme \(\displaystyle S = [ \frac{x}{y} | x,y \in \ \mathbb Z, y \notin 3\mathbb Z ] \)
Del campo razionale \(\displaystyle \mathbb Q \)
(a) Provare che \(\displaystyle S \) e un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb Q \)
(b) Stabilire che \(\displaystyle S \) è un dominio ma non è un campo.
(c) Determinare quali elementi di \(\displaystyle S \) hanno inverso (in \(\displaystyle S \), si intende!)
\(\displaystyle (a): \)
Potrei dire che è un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb Q \) perchè \(\displaystyle S \) è un sottogruppo del gruppo additivo (\(\displaystyle \mathbb Q \),+), \(\displaystyle S \) è stabile rispetto alla moltiplicazione ( per ogni \(\displaystyle \frac{x}{y} e \frac{z}{r} \in \ \mathbb Q = \frac{xz}{yr} \) ) e l'elemento neutro della moltiplicazione \(\displaystyle ( \frac{1}{1} ) \in S \) e dell'addizione \(\displaystyle ( 0 ) \in S \) Giusto?Purtroppo non riesco a estrarre le altre due risposte per le due domande, potreste aiutarmi? vi ringrazio in anticipo
Si consideri il sottoinsieme \(\displaystyle S = [ \frac{x}{y} | x,y \in \ \mathbb Z, y \notin 3\mathbb Z ] \)
Del campo razionale \(\displaystyle \mathbb Q \)
(a) Provare che \(\displaystyle S \) e un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb Q \)
(b) Stabilire che \(\displaystyle S \) è un dominio ma non è un campo.
(c) Determinare quali elementi di \(\displaystyle S \) hanno inverso (in \(\displaystyle S \), si intende!)
\(\displaystyle (a): \)
Potrei dire che è un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb Q \) perchè \(\displaystyle S \) è un sottogruppo del gruppo additivo (\(\displaystyle \mathbb Q \),+), \(\displaystyle S \) è stabile rispetto alla moltiplicazione ( per ogni \(\displaystyle \frac{x}{y} e \frac{z}{r} \in \ \mathbb Q = \frac{xz}{yr} \) ) e l'elemento neutro della moltiplicazione \(\displaystyle ( \frac{1}{1} ) \in S \) e dell'addizione \(\displaystyle ( 0 ) \in S \) Giusto?Purtroppo non riesco a estrarre le altre due risposte per le due domande, potreste aiutarmi? vi ringrazio in anticipo
Risposte
La dimostrazione che è sottoanello include quella del sottogruppo che dovresti comunque scrivere per esteso. Per la stabilità rispetto alla moltiplicazione devi dimostrare che due elementi di $ S $ moltiplicati continuano a stare in $ S $ e non mi sembra che quella che hai scritto tra parentesi sia questa dimostrazione 
Non è chiesto che sia anello unitario, mentre dimostrando che $ S $ è sottogruppo additivo col criterio per i sottogruppi dimostri già l'esistenza del neutro per la somma.
Per gli altri prova ad applicare le definizioni...
Non è chiesto che sia anello unitario, mentre dimostrando che $ S $ è sottogruppo additivo col criterio per i sottogruppi dimostri già l'esistenza del neutro per la somma.Per gli altri prova ad applicare le definizioni...
Allora, tu hai:
$S = \{ x/y | x, y \in \ZZ, y \notin 3\ZZ\} \sub \QQ$
È ovvio che $S$ è un sottoinsieme proprio di $\QQ$ visto che ci sono alcuni elementi di $\QQ$ che non stanno in $S$ (ad esempio $1/3$). E adesso... per i vari punti, quello che dici è parzialmente corretto.
(a) Dici bene quando dici che $(S, +)$ è sottogruppo additivo del gruppo $(\QQ, +)$, e hai ragione anche a considerare la stabilità moltiplicativa. Tant'è che sono queste le cose che devi controllare per vedere se $S$ è sottoanello (devi infatti verificare che, presi comunque $a$ e $b$ in $S$, allora $a - b \in S$, il che dunque sostanzialmente ti dice che $(S, +)$ è sottogruppo additivo di $(\QQ, +)$, e verificare che, presi comunque $a$ e $b$ in $S$, allora $ab \in S$). Verificare le altre due cose che verifichi tu è da un lato inutile (se $(S, +)$ è sottogruppo additivo allora contiene per forza lo $0$, o non sarebbe sottogruppo se non contenesse il neutro additivo), e dall'altro anche sbagliato (sì, $1 \in S$, ma questo non vuol dire nulla, è sbagliato pensare che per essere sottoanello debba per forza contenere l'unità: $\ZZ$, ad esempio, è un anello unitario, ma $2\ZZ$, tanto per prenderne uno, è un suo sottoanello anche se $1 \notin 2\ZZ$). Dovresti comunque essere rigoroso nello spiegare e nel dimostrare come mai quell'insieme è un sottogruppo additivo e perché è stabile moltiplicativamente.
Per le altre due, ti darei questi suggerimenti:
(b) Se conosci la definizione di "dominio", sai già come impostare la dimostrazione per fare vedere che è... un dominio, appunto; inoltre fidati, la dimostrazione qui è più banale di quanto sembri
Inoltre perché non è un campo? Cos'è che gli manca affinché sia un campo? La (c) ti suggerisce qui...
(c) Non tutti gli elementi di $S$ hanno un inverso in $S$... per quale motivo? Dalla definizione stessa del sottoinsieme $S$ è facile intuire quali siano gli elementi senza inverso: ed è semplice costruire la dimostrazione, poi, una volta che sai già dove devi andare a parare e hai capito quali sono gli elementi privi di reciproco.
$S = \{ x/y | x, y \in \ZZ, y \notin 3\ZZ\} \sub \QQ$
È ovvio che $S$ è un sottoinsieme proprio di $\QQ$ visto che ci sono alcuni elementi di $\QQ$ che non stanno in $S$ (ad esempio $1/3$). E adesso... per i vari punti, quello che dici è parzialmente corretto.
(a) Dici bene quando dici che $(S, +)$ è sottogruppo additivo del gruppo $(\QQ, +)$, e hai ragione anche a considerare la stabilità moltiplicativa. Tant'è che sono queste le cose che devi controllare per vedere se $S$ è sottoanello (devi infatti verificare che, presi comunque $a$ e $b$ in $S$, allora $a - b \in S$, il che dunque sostanzialmente ti dice che $(S, +)$ è sottogruppo additivo di $(\QQ, +)$, e verificare che, presi comunque $a$ e $b$ in $S$, allora $ab \in S$). Verificare le altre due cose che verifichi tu è da un lato inutile (se $(S, +)$ è sottogruppo additivo allora contiene per forza lo $0$, o non sarebbe sottogruppo se non contenesse il neutro additivo), e dall'altro anche sbagliato (sì, $1 \in S$, ma questo non vuol dire nulla, è sbagliato pensare che per essere sottoanello debba per forza contenere l'unità: $\ZZ$, ad esempio, è un anello unitario, ma $2\ZZ$, tanto per prenderne uno, è un suo sottoanello anche se $1 \notin 2\ZZ$). Dovresti comunque essere rigoroso nello spiegare e nel dimostrare come mai quell'insieme è un sottogruppo additivo e perché è stabile moltiplicativamente.
Per le altre due, ti darei questi suggerimenti:
(b) Se conosci la definizione di "dominio", sai già come impostare la dimostrazione per fare vedere che è... un dominio, appunto; inoltre fidati, la dimostrazione qui è più banale di quanto sembri
Inoltre perché non è un campo? Cos'è che gli manca affinché sia un campo? La (c) ti suggerisce qui... (c) Non tutti gli elementi di $S$ hanno un inverso in $S$... per quale motivo? Dalla definizione stessa del sottoinsieme $S$ è facile intuire quali siano gli elementi senza inverso: ed è semplice costruire la dimostrazione, poi, una volta che sai già dove devi andare a parare e hai capito quali sono gli elementi privi di reciproco.
Perfetto, siete stati chiarissimi, quindi riconducendoci all'esercizio, per la domanda \(\displaystyle (c) \) risponderei proprio così: nel sottoinsieme \(\displaystyle S \) vi sono elementi razionali che sono dotati di inverso: per ogni \(\displaystyle x,y \in \mathbb Z \) con \(\displaystyle x,y ≠ 0 \) e \(\displaystyle y ≠ 3 \) l'inverso di \(\displaystyle \frac{x}{y} \) è \(\displaystyle \frac{y}{x} \).
per la domanda \(\displaystyle (b) \)
\(\displaystyle S \) non può essere un campo poichè lo \(\displaystyle 0 \) non è dotato di un inverso, infatti non esiste alcun \(\displaystyle X \in \mathbb Z \) tale che \(\displaystyle 2X=1 \), per dimostrare che è \(\displaystyle S \) è un dominio devo dimostrare le due condizioni
\(\displaystyle a\cdot b=b\cdot a \ \ \forall a,b \in A \) e \(\displaystyle a\cdot b=0 \Rightarrow a=0\ \ \textrm{oppure}\ \ b=0 \). credo ora siano meglio impostate le risposte
per la domanda \(\displaystyle (b) \)
\(\displaystyle S \) non può essere un campo poichè lo \(\displaystyle 0 \) non è dotato di un inverso, infatti non esiste alcun \(\displaystyle X \in \mathbb Z \) tale che \(\displaystyle 2X=1 \), per dimostrare che è \(\displaystyle S \) è un dominio devo dimostrare le due condizioni
\(\displaystyle a\cdot b=b\cdot a \ \ \forall a,b \in A \) e \(\displaystyle a\cdot b=0 \Rightarrow a=0\ \ \textrm{oppure}\ \ b=0 \). credo ora siano meglio impostate le risposte
Hai sbagliato gli inversi. Non va bene qualsiasi $ x $, solo quelli non multipli di 3, altrimenti l'inverso $ y/x $ non apparterrebbe a $ S $
Per quello che hai scritto tu, valeee, riesco a leggere che secondo te in $S$ ogni frazione ha un inverso, eccetto quelle con denominatore uguale a $3$ (con $x$ e $y$ comunque non nulli). Ma tanto le frazioni in $S$ non possono mai avere un denominatore $y$ che sia uguale a $3$, perché è $y \notin 3\ZZ$ proprio per definizione stessa di $S$. Quindi la tua scrittura sta a significare che ogni elemento non nullo del sottoanello possiede inverso. Ma se è così, ti faccio una domanda... se prendi $3$, cosa si può dire di lui?
Ricorda che $3$ è esprimibile come $3/1$, cioè un quoziente di interi in cui il denominatore NON è un multiplo di tre. Dunque $3 \in S$. Ma se $3$ sta in $S$... qual è il suo inverso, se riesci a trovarlo? O l'inverso di... $9/4$, ad esempio? E se non c'è, per quale motivo non c'è? Con questo esempio riesci a ragionare per trovare quali sono gli elementi di $S$ che sono sprovvisti di inverso, e perché.
Per la (b)... sbagli a considerare l'esercizio in quel modo: in nessun campo $0$ possiede inverso, perché in un campo tutti gli elementi non nulli hanno inverso. $S$ non è un campo perché come l'esercizio di cui ho parlato giusto ora ti fa vedere ci sono alcuni elementi non nulli che non hanno inverso, e dunque non c'entra niente il fatto che $0$ non abbia inverso, perché da nessuna parte nei campi lo ha. Anche $\QQ$ è un campo, ma $0$ non ha inverso neanche là. Però in $\QQ$ ogni elemento diverso da zero ha inverso, e ciò contribuisce al fatto che sia un campo insieme alle altre caratteristiche che un campo deve soddisfare.
Per i domini di integrità... sì, i domini di integrità sono anelli commutativi in cui se il prodotto di due elementi è $0$, allora deve essere $a = 0 vv b = 0$, almeno secondo la definizione del mio libro di testo dato che ne ho lette di diverse di definizioni di domini. E... be', provare sia l'una che l'altra proposizione è banalissimo: per prima cosa, $ab = ba, \forall a, b \in S$ è banale perché... $a$ e $b$ sono elementi di $S$, ma $S$ è sottoinsieme di $\QQ$, che è il campo dei razionali che conosci molto bene. Dunque quei due sono anche elementi di $\QQ$ e... questo ti aiuta nel capire cosa intendo? Se sì, con lo stesso ragionamento dimostri in quattro e quattr'otto anche che non ci sono divisori dello $0$ e hai dunque finito di mostrare che è un dominio.
Ricorda che $3$ è esprimibile come $3/1$, cioè un quoziente di interi in cui il denominatore NON è un multiplo di tre. Dunque $3 \in S$. Ma se $3$ sta in $S$... qual è il suo inverso, se riesci a trovarlo? O l'inverso di... $9/4$, ad esempio? E se non c'è, per quale motivo non c'è? Con questo esempio riesci a ragionare per trovare quali sono gli elementi di $S$ che sono sprovvisti di inverso, e perché.
Per la (b)... sbagli a considerare l'esercizio in quel modo: in nessun campo $0$ possiede inverso, perché in un campo tutti gli elementi non nulli hanno inverso. $S$ non è un campo perché come l'esercizio di cui ho parlato giusto ora ti fa vedere ci sono alcuni elementi non nulli che non hanno inverso, e dunque non c'entra niente il fatto che $0$ non abbia inverso, perché da nessuna parte nei campi lo ha. Anche $\QQ$ è un campo, ma $0$ non ha inverso neanche là. Però in $\QQ$ ogni elemento diverso da zero ha inverso, e ciò contribuisce al fatto che sia un campo insieme alle altre caratteristiche che un campo deve soddisfare.
Per i domini di integrità... sì, i domini di integrità sono anelli commutativi in cui se il prodotto di due elementi è $0$, allora deve essere $a = 0 vv b = 0$, almeno secondo la definizione del mio libro di testo dato che ne ho lette di diverse di definizioni di domini. E... be', provare sia l'una che l'altra proposizione è banalissimo: per prima cosa, $ab = ba, \forall a, b \in S$ è banale perché... $a$ e $b$ sono elementi di $S$, ma $S$ è sottoinsieme di $\QQ$, che è il campo dei razionali che conosci molto bene. Dunque quei due sono anche elementi di $\QQ$ e... questo ti aiuta nel capire cosa intendo? Se sì, con lo stesso ragionamento dimostri in quattro e quattr'otto anche che non ci sono divisori dello $0$ e hai dunque finito di mostrare che è un dominio.
Che sia un dominio lo puoi anche dimostrare in maniera diretta, scrivendo due elementi generici e osservandone il comportamento se uguagli a zero il loro prodotto. Spesso è preferita la dimostrazione diretta, forse perché ragionando sui sottoinsiemi capita di dimenticare o di sbagliarsi su alcuni passaggi
ok ho le idee più chiare, quindi per quanto riguarda il dominio, affermo che presi \(\displaystyle \frac{x}{y} \) e \(\displaystyle \frac{x'}{y'} \in S \) , valgono :
\(\displaystyle 1) \) \(\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{x'}{y'} = \frac{x'}{y'} \cdot \frac{x}{y} \)
\(\displaystyle 2) \) \(\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{x'}{y'} = 0 \space \space \rightarrow \space \space \space \frac{x}{y} \cdot 0 = 0 \space \space \space U \space \space \space \frac{x'}{y'} \cdot 0 = 0 \space \space \rightarrow \space \space \space \frac{x}{y} = 0 \space \space \space U \space \space \space \frac{x'}{y'} = 0 \)
Per quanto riguarda l'inverso e rispondendo a M1313 , ho capito perchè \(\displaystyle \frac{9}{4} \) non può avere l'inverso, appunto perchè appena faccio il suo inverso, \(\displaystyle 9 \) va a denominatore e per \(\displaystyle S \) non può essere contenuto,quindi hanno un'inverso tutti \(\displaystyle x \notin 3\mathbb Z \).
per quanto riguarda invece la dimostrazione di sottoanello, come avete detto prima,dimostro prima che \(\displaystyle S \) è un sottogruppo additivo di \(\displaystyle \mathbb Q \)
Una volta dimostrato che \(\displaystyle (S,+) \) è un sottogruppo di \(\displaystyle (\mathbb Q,+) \) manca apputo da dimostrare che è un sottoanello, quindi verifico \(\displaystyle a - b \in S \) e \(\displaystyle ab \in S \) quindi:
\(\displaystyle 1) \)prendo \(\displaystyle \frac{x}{y} \) e \(\displaystyle \frac{x'}{y'} \in S \space \space \rightarrow \space \space \frac{x}{y} - \frac{x'}{y'} = \space \space \frac{xy' - x'y'}{yy''} = \frac{xy'}{yy'} - \frac{x'y}{yy'} \space \space = \frac{x}{y} - \frac{x''}{y''} \in S \)
\(\displaystyle 2) \) devo dimostrare che \(\displaystyle ab \in S \) ma questa è abbastanza ovvia e facile.
andrebbe bene così? ovviamente le devo ristrutturare le risposte!
\(\displaystyle 1) \) \(\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{x'}{y'} = \frac{x'}{y'} \cdot \frac{x}{y} \)
\(\displaystyle 2) \) \(\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{x'}{y'} = 0 \space \space \rightarrow \space \space \space \frac{x}{y} \cdot 0 = 0 \space \space \space U \space \space \space \frac{x'}{y'} \cdot 0 = 0 \space \space \rightarrow \space \space \space \frac{x}{y} = 0 \space \space \space U \space \space \space \frac{x'}{y'} = 0 \)
Per quanto riguarda l'inverso e rispondendo a M1313 , ho capito perchè \(\displaystyle \frac{9}{4} \) non può avere l'inverso, appunto perchè appena faccio il suo inverso, \(\displaystyle 9 \) va a denominatore e per \(\displaystyle S \) non può essere contenuto,quindi hanno un'inverso tutti \(\displaystyle x \notin 3\mathbb Z \).
per quanto riguarda invece la dimostrazione di sottoanello, come avete detto prima,dimostro prima che \(\displaystyle S \) è un sottogruppo additivo di \(\displaystyle \mathbb Q \)
Una volta dimostrato che \(\displaystyle (S,+) \) è un sottogruppo di \(\displaystyle (\mathbb Q,+) \) manca apputo da dimostrare che è un sottoanello, quindi verifico \(\displaystyle a - b \in S \) e \(\displaystyle ab \in S \) quindi:
\(\displaystyle 1) \)prendo \(\displaystyle \frac{x}{y} \) e \(\displaystyle \frac{x'}{y'} \in S \space \space \rightarrow \space \space \frac{x}{y} - \frac{x'}{y'} = \space \space \frac{xy' - x'y'}{yy''} = \frac{xy'}{yy'} - \frac{x'y}{yy'} \space \space = \frac{x}{y} - \frac{x''}{y''} \in S \)
\(\displaystyle 2) \) devo dimostrare che \(\displaystyle ab \in S \) ma questa è abbastanza ovvia e facile.
andrebbe bene così? ovviamente le devo ristrutturare le risposte!
Non va bene solo la dimostrazione di dominio, tecnicamente non hai detto nulla. O meglio, hai scritto la definizione e l'hai applicata, ma non è dimostrata!
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