Esercizio campo di spezzamento.

[francicko]

Sia $f$ un polinomio di grado $n$ in $F[x]$.
Sia $E$ un campo di spezzamento di $f$ su $F$.
Mostrare che $|E:F|$ divide $n!$.
Potreste darmi qualche suggerimento correlato ad un esempio concreto, grazie?

[megas_archon]

E' una cosa standard che sta in qualsiasi libro.

Se \(f(X)\) è irriducibile su \(F\), si fa per induzione su \(n\). La base è banalmente vera, al grado 1, scegliendo \(E=F\). Poi, siccome esiste un'estensione dove \(f(X)=(X-\alpha)g(X)\), e \(\deg g = n-1\), allora per ipotesi induttiva, esiste \(E_g|F(\alpha)\) dove \(g(X)\) spezza, e \(|E_g:F(\alpha)|\) divide \((n-1)!\). Per la formula dei gradi, ora,
\[
|E:F|=|E_g:F(\alpha)||F(\alpha):F|
\]
divide \((n-1)!n=n!\)

Resta da vedere che \(E=Split_F(f(X))\): questo però è banale alla luce del fatto che \(f=(X-\alpha)g(X)=c(X-\alpha)(X-\epsilon_1)\dots(X-\epsilon_{n-1})\) in \(E_g\).

Supponiamo ora che \(f(X)\) sia riducibile. Allora \(f=gh\), con \(\deg g=r,\deg h=s\). Se \(L= Split_F(g(X))\), \(E= Split_L(h(X))\) (esistono per induzione); in \(E[X]\) \(f(X)\) si spezza in fattori lineari, ed \(E=F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\); per la formula dei gradi, se \(|E:L|\) divide \(s!\), \(|L:F|\) divide \(r!\), allora \(|E:F|\) divide \(r!s!\), che d'altra parte divide \(n!\) (perché \(\frac{n!}{r!s!}=\frac{(r+s)!}{r!s!}=\binom{n}{r}\) è intero).

[francicko]

Ok! Grazie!