Esercizio Campo dei quozienti

[Clamina1]

Ho dei problemi con questo esercizio:

Si considerino gli anelli \(\displaystyle A=\mathbb{Z}[1/7]\subseteq\mathbb{C}, B=\mathbb{Z}[\sqrt{7}]\subseteq\mathbb{C} \) ,si deterrninino i rispettivi campi dei quozienti come sottocampi di C.

Ho pensato di vedere se 1/7 era algebrico su Z in modo da poter dire che il campo dei quozienti è isomorfo a \(\displaystyle \mathbb{Z}[x]\diagup(p) \) dove p è il polinomio minimo di 1/7. Ma non riesco a trovare il polinomio minimo. Il ragionamento è sbagliato? qualcuno mi può dare una mano?

[ficus2002]

Direi che il primo problema il campo dei quozienti è $ \mathbb Q $ mentre nel secondo caso $\mathbb Q [\sqrt 7] $.il tuo ragionamento è sbagliato perché Z non è un campo.

[Clamina1]

Giusto! Non ci avevo pensato
Ma come faccio a capire che nel primo caso è $\mathbb{Q}$ e nel secondo $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$?

[ficus2002]

Considera che Q è il minimo sottocampo di C che contiene Z.