Esercizio campi finiti di caratteristica p.
stabilire se esistono radici non banali del polinomio \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \)
In caso di risposta positiva, determinarle.
Inizio con l'osservare che il gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle F_{16} \), che denoto con \(\displaystyle F_{16}* \), è ciclico e ha ordine 15.
Sia a un generatore di \(\displaystyle F_{16}* \), allora \(\displaystyle a
^{15}=1 \).
Se esiste una radice b di \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \), questa deve essere tale che \(\displaystyle b^5=1 \), cioè o(b)=5.
Ma allora 15|5 e questo è assurdo.
Qualcosa, però, mi dice che ho scambiato i ruoli di 15 e 5
In caso di risposta positiva, determinarle.
Inizio con l'osservare che il gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle F_{16} \), che denoto con \(\displaystyle F_{16}* \), è ciclico e ha ordine 15.
Sia a un generatore di \(\displaystyle F_{16}* \), allora \(\displaystyle a
^{15}=1 \).
Se esiste una radice b di \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \), questa deve essere tale che \(\displaystyle b^5=1 \), cioè o(b)=5.
Ma allora 15|5 e questo è assurdo.
Qualcosa, però, mi dice che ho scambiato i ruoli di 15 e 5
Risposte
Avrei anche un altro esercizio in merito.
Dimostrare che il prodotto di tutti gli elementi di \(\displaystyle {F_{p^n}}^* \) è uguale a \(\displaystyle -1 \)
Anche quì bisogna applicare, secondo me, la ciclicità del gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle F_{p^n} \), però non riesco a capire il metodo da usare.
Dimostrare che il prodotto di tutti gli elementi di \(\displaystyle {F_{p^n}}^* \) è uguale a \(\displaystyle -1 \)
Anche quì bisogna applicare, secondo me, la ciclicità del gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle F_{p^n} \), però non riesco a capire il metodo da usare.
Sono riuscita a risolvere il secondo esercizio, se volete lo posto. Però aiutatemi con il primo!
Dev'essere 5 a dividere 15, è il periodo che divide l'ordine del gruppo, no?
E quindi, nelle notazioni che hai usato prima, $a^3$ e tutte le sue potenze sono le 5 soluzioni dell'equazione.
E quindi, nelle notazioni che hai usato prima, $a^3$ e tutte le sue potenze sono le 5 soluzioni dell'equazione.
No, non mi è chiaro. Io so che
Se x è periodico di ordine n e m è un intero, allora \(\displaystyle x^m=1 \) se e solo se \(\displaystyle n|m \)
Poiché F16 è ciclico e ha periodo 15, allora ogni elemento di F16 ha periodo 15. Tuttavia se a è radice del polinomio allora a ha periodo 5. È quì che non riesco ad andare avanti!!
Se x è periodico di ordine n e m è un intero, allora \(\displaystyle x^m=1 \) se e solo se \(\displaystyle n|m \)
Poiché F16 è ciclico e ha periodo 15, allora ogni elemento di F16 ha periodo 15. Tuttavia se a è radice del polinomio allora a ha periodo 5. È quì che non riesco ad andare avanti!!
Però posso fare un'altra osservazione e forse è quello che vuoi dire tu.
Se a è radice di \(\displaystyle x^{15}-1 \) allora è anche \(\displaystyle {a^3}^5=1 \) cioè \(\displaystyle a^3 \) è periodico di periodo 5. Ma allora \(\displaystyle a^{15}=1 \) se e solo se \(\displaystyle 3|15 \)
Ho così l'asserto e tutte le radici sono \(\displaystyle 1, {a^3}, {a^3}^2,....,{a^3}^4 \)
Il discorso fila?
Se a è radice di \(\displaystyle x^{15}-1 \) allora è anche \(\displaystyle {a^3}^5=1 \) cioè \(\displaystyle a^3 \) è periodico di periodo 5. Ma allora \(\displaystyle a^{15}=1 \) se e solo se \(\displaystyle 3|15 \)
Ho così l'asserto e tutte le radici sono \(\displaystyle 1, {a^3}, {a^3}^2,....,{a^3}^4 \)
Il discorso fila?
Ho capito quello che intendevi. Hai preso a, un elemento di periodo 15, e hai dimostrato che a non è soluzione dell'equazione poiché altrimenti 5 dividerebbe 15. E questo dimostra (solo) che gli elementi di periodo 15 non sono soluzioni.
Ma non tutti gli elementi hanno periodo 15! Ad esempio 1 ha periodo 1. (Forse ti stavi confondendo coi primi: se l'ordine fosse stato un primo p, allora tutti gli elementi diversi da 1 avrebbero avuto periodo p, però 15 non è primo; ma penso che tu l'abbia già notato nel tuo ultimo commento)
Andiamo con ordine.
Sia z una soluzione dell'equazione, $z^5=1$. Chiaramente $z ne 0$.
Siamo in $F_16$, il campo finito di 16 elementi; il gruppo degli elementi invertibili è $F_16^*$ che ha ordine (non periodo) 15.
Il teorema di Lagrange ci dice che il periodo di ogni elemento di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.
Quindi il periodo di z divide 15. Inoltre:
e dato che $z^5=1$, abbiamo che il periodo di z divide anche 5 e dunque o il periodo è 1 (e in tal caso $z=1$ è la soluzione banale) o è 5. Esistono elementi di periodo 5? Certo che sì, e come abbiamo già visto, se a è un generatore $a^3,(a^3)^2,(a^3)^3,(a^3)^4$ hanno periodo 5 e sono (tutte e sole le) soluzioni non banali.
Ma non tutti gli elementi hanno periodo 15! Ad esempio 1 ha periodo 1. (Forse ti stavi confondendo coi primi: se l'ordine fosse stato un primo p, allora tutti gli elementi diversi da 1 avrebbero avuto periodo p, però 15 non è primo; ma penso che tu l'abbia già notato nel tuo ultimo commento)
Andiamo con ordine.
Sia z una soluzione dell'equazione, $z^5=1$. Chiaramente $z ne 0$.
Siamo in $F_16$, il campo finito di 16 elementi; il gruppo degli elementi invertibili è $F_16^*$ che ha ordine (non periodo) 15.
Il teorema di Lagrange ci dice che il periodo di ogni elemento di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.
Quindi il periodo di z divide 15. Inoltre:
"Lightmind":
Se x è periodico di ordine n e m è un intero, allora \( \displaystyle x^m=1 \) se e solo se \( \displaystyle n|m \)
e dato che $z^5=1$, abbiamo che il periodo di z divide anche 5 e dunque o il periodo è 1 (e in tal caso $z=1$ è la soluzione banale) o è 5. Esistono elementi di periodo 5? Certo che sì, e come abbiamo già visto, se a è un generatore $a^3,(a^3)^2,(a^3)^3,(a^3)^4$ hanno periodo 5 e sono (tutte e sole le) soluzioni non banali.
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