Esercizio calcolo combinatorio

[giulio013]

Siano $n$ e $k$ due numeri naturali e sia $A$ un insieme di cardinalità $n$. Assumendo che $k<=n$, quale tra questi numeri è $|{B in A| |B| = k}|$ ?

- $(n!)/(k!)$
- $ (n

k) $
- $ (n!)/((n-k)!)$

Se $|A| = 10$ quanti sono:
(i) i sottoinsiemi di $A$ di cardinalità 3?
(ii) quelli di cardinalità 7?
(iii) Le applicazioni iniettive da {1,2,3} ad $A$?

Ho provato a svolgere l'esercizio ma non mi trovo con il risultato. Io ho considerato la la prima formula perché essendo B in A non devo considerare gli elementi di B perché sono quelli che si ripetono nel senso che A è formata da 10 elementi totali e B da 3 elementi quindi $(10!)/(3!)$ perché 3 sono gli elementi che si ripetono.

Il risultato (di un collega) mostra che la soluzione è data dalla seconda formula (formula binomiale), ma la formula binomiale non viene applicata se si considerano coppie di elementi?

[caulacau]

"giulio0":Siano $n$ e $k$ due numeri naturali e sia $A$ un insieme di cardinalità $n$. Assumendo che $k<=n$, quale tra questi numeri è $|{B in A| |B| = k}|$ ?

- $(n!)/(k!)$
- $ (n

k) $
- $ (n!)/((n-k)!)$

Nessuna di queste risposte è quella giusta: il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in un insieme di $n$ elementi è \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), perché insiemi che hanno gli stessi elementi in ordine diverso sono lo stesso insieme; se però ti interessano i sottoinsiemi ordinati la risposta cambia, ed è esattamente \(k!\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!}\), perché?

Se $|A| = 10$ quanti sono:
(i) i sottoinsiemi di $A$ di cardinalità 3?
(ii) quelli di cardinalità 7?
(iii) Le applicazioni iniettive da {1,2,3} ad $A$?

Quello che ti ho detto risponde a tutte queste domande.

Questo non significa molto:

Il risultato (di un collega) mostra che la soluzione è data dalla seconda formula (formula binomiale), ma la formula binomiale non viene applicata se si considerano coppie di elementi?

No, o meglio: cosa vuol dire?