Esercizio automorfismo
Buonasera a tutti!
Ero alle prese con questo esercizio: "Calcolare $Aut(ZZ_(/20ZZ) xx ZZ_(/2ZZ))$"
Credo che sia utile in questo problema ricordare questi due fatti:
1) Se $G=H xx K$ con $(|H|,|K|)=1$ allora $H$ e $K$ sono caratteristici in $G$
2) $Aut(ZZ_(/nZZ)) ~= (ZZ_(/nZZ))^(ast)$
Detto ciò mi sono ricondotto a studiare $Aut(ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)) xx (ZZ_(/5ZZ))^(ast)$
Poi ho iniziato ad analizzare $G=ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)$. Posso mandare i due generatori $(1,0)$ (che ha ordine 2) e $(0,1)$ (che ha ordine 4) rispettivamente in $(0,2),(1,2),(1,0)$ e $(0,1),(0,3),(1,1),(1,3)$. Quindi avrei al più 12 automorfismi.
Fin qui ho detto cose sbagliate?
Ero alle prese con questo esercizio: "Calcolare $Aut(ZZ_(/20ZZ) xx ZZ_(/2ZZ))$"
Credo che sia utile in questo problema ricordare questi due fatti:
1) Se $G=H xx K$ con $(|H|,|K|)=1$ allora $H$ e $K$ sono caratteristici in $G$
2) $Aut(ZZ_(/nZZ)) ~= (ZZ_(/nZZ))^(ast)$
Detto ciò mi sono ricondotto a studiare $Aut(ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)) xx (ZZ_(/5ZZ))^(ast)$
Poi ho iniziato ad analizzare $G=ZZ_(/2ZZ) xx ZZ_(/4ZZ)$. Posso mandare i due generatori $(1,0)$ (che ha ordine 2) e $(0,1)$ (che ha ordine 4) rispettivamente in $(0,2),(1,2),(1,0)$ e $(0,1),(0,3),(1,1),(1,3)$. Quindi avrei al più 12 automorfismi.
Fin qui ho detto cose sbagliate?
Risposte
La risposta è ni.
Facciamo un esempio: prendi $\phi: G \to G$ così definito: mandi $(1, 0)$ in $(0, 2)$ e $(0, 1)$ in $(0, 1)$. Sembra un onesto automorfismo, eppure $\phi(1, 0) = \phi(0, 2)$. Ne deduci che il sottogruppo generato da $\phi(1, 0)$, affinché $\phi$ sia automorfismo, deve avere intersezione banale con $\phi(0, 1)$. Adesso: $\phi(1, 0)$ genera uno $\mathbb{Z_2}$, $\phi(0, 1)$ uno $\mathbb{Z_4}$, quindi devi togliere gli elementi di ordine $4$ il cui quadrato è $\phi(1, 0)$.
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Facciamo un esempio: prendi $\phi: G \to G$ così definito: mandi $(1, 0)$ in $(0, 2)$ e $(0, 1)$ in $(0, 1)$. Sembra un onesto automorfismo, eppure $\phi(1, 0) = \phi(0, 2)$. Ne deduci che il sottogruppo generato da $\phi(1, 0)$, affinché $\phi$ sia automorfismo, deve avere intersezione banale con $\phi(0, 1)$. Adesso: $\phi(1, 0)$ genera uno $\mathbb{Z_2}$, $\phi(0, 1)$ uno $\mathbb{Z_4}$, quindi devi togliere gli elementi di ordine $4$ il cui quadrato è $\phi(1, 0)$.
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Infatti avevo studiato $G^2=2G={2(x,y)|(x,y) in G}={(0,0),(0,2)}$, quindi so che $AA phi in Aut(G)$ $phi(0,2)=(0,2)$
Quindi ho al più 8 automorfismi. E' possibile che sia isomorfo a $D_4$?
Quindi ho al più 8 automorfismi. E' possibile che sia isomorfo a $D_4$?
Beh se fosse un $D_4$ dovresti riuscire a trovare un elemento di ordine $2$ e uno di ordine $4$ che soddisfano le relazione che caratterizzano $D_n$. Prova a giocare con gli otto possibili automorfismi.
Dovrebbe andare $alpha: alpha(1,0)=(1,2)$ e $alpha(0,1)=(0,1)$ e $beta: beta(1,0)=(1,2)$ e $beta(0,1)=(1,1)$
Si verifica che $alpha^2=1$, $beta^4=1$ e $beta alpha= alpha beta^(-1)$. Mando $alpha$ in $sigma$ e $beta$ in $rho$ con $sigma, rho$ riflessione e rotazione di $D_4$
Si verifica che $alpha^2=1$, $beta^4=1$ e $beta alpha= alpha beta^(-1)$. Mando $alpha$ in $sigma$ e $beta$ in $rho$ con $sigma, rho$ riflessione e rotazione di $D_4$
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