Esercizio automorfismi
ragazzi mi trovo di fronte un esercizio che ho svolto ma non so se è giusto...
l'esercizio mi chiede di trovare tutti gli automorfismi,e poi di questi gli isomorfismi di Zmod4
io come automorfismi ho trovato tutti i morfismi che mandano il generatore [1] in una immagine in Zmod4,per essere piu chiaro:
$ f([x])=2[x];
f([x])=[0];
f([x])=[x];
f([x])=3[x] $
gli isomorfismi sono quelli che mandano il generatore [1] in un altro generatore,ed essendo in Zmod4 i generatori,solo $ [1] ; [3] $ gli isomorfismi sono solo l'identita ed $ f([x])=3[x] $
è tutto giusto?avreste delle note teoriche da aggiungerci?perchè io ho risolto l'esercizio vedeno un po le definizioni ma non ho capito bene la teoria che ci sta dietro,ammesso che l'abbia fatto correttamente...
l'esercizio mi chiede di trovare tutti gli automorfismi,e poi di questi gli isomorfismi di Zmod4
io come automorfismi ho trovato tutti i morfismi che mandano il generatore [1] in una immagine in Zmod4,per essere piu chiaro:
$ f([x])=2[x];
f([x])=[0];
f([x])=[x];
f([x])=3[x] $
gli isomorfismi sono quelli che mandano il generatore [1] in un altro generatore,ed essendo in Zmod4 i generatori,solo $ [1] ; [3] $ gli isomorfismi sono solo l'identita ed $ f([x])=3[x] $
è tutto giusto?avreste delle note teoriche da aggiungerci?perchè io ho risolto l'esercizio vedeno un po le definizioni ma non ho capito bene la teoria che ci sta dietro,ammesso che l'abbia fatto correttamente...
Risposte
Scusa, tu vuoi trovare gli endomorfismi e di questi gli automorfismi, credo. Giusto?
Ti do un consiglio, che almeno per me funziona, invece di scrivere così gli elementi dei moduli, scrivili metà positivi e metà negativi:
$ZZ_4={-1,0,1,2}$
Ovviamente, come hai suggerito tu gli unici endomorfismi(sono veramente gli unici?!) sono
$0*ZZ_4={0}$
$1*ZZ_4={-1,0,1,2}=I$
$2*ZZ_4={-2,0,2,4}={2,0,2,0}$
$-1*ZZ_4={1,0,-1,-2}={1,0,-1,2}=-I$
Ovviamente tra questi gli unici che siano suriettivi sono proprio l'identità e meno l'identità
Ti do un consiglio, che almeno per me funziona, invece di scrivere così gli elementi dei moduli, scrivili metà positivi e metà negativi:
$ZZ_4={-1,0,1,2}$
Ovviamente, come hai suggerito tu gli unici endomorfismi(sono veramente gli unici?!) sono
$0*ZZ_4={0}$
$1*ZZ_4={-1,0,1,2}=I$
$2*ZZ_4={-2,0,2,4}={2,0,2,0}$
$-1*ZZ_4={1,0,-1,-2}={1,0,-1,2}=-I$
Ovviamente tra questi gli unici che siano suriettivi sono proprio l'identità e meno l'identità
Allora dovrei trovare gli automorfismi e di questi qurlli che sono isomorfismi..il moo procedimento è errato?
Altolà, un po' di nomenclatura
Un isomorfismo di un oggetto in sè si chiama automorfismo.
Un omomorfismo di un oggetto in sè si chiama endomorfismo.
Procedimento mi sembra un po' a tentativi, il che va bene finché hai pochi conti da fare, sarebbe meglio trovare un ordine con cui farlo. E la cosa importante, sai perché sono solo quelli gli endomorfismi?
Un isomorfismo di un oggetto in sè si chiama automorfismo.
Un omomorfismo di un oggetto in sè si chiama endomorfismo.
Procedimento mi sembra un po' a tentativi, il che va bene finché hai pochi conti da fare, sarebbe meglio trovare un ordine con cui farlo. E la cosa importante, sai perché sono solo quelli gli endomorfismi?
No effettivamente....nn riesco a capire questo. .
Ps.perdonami gli errori di nomenclatura
Ps.perdonami gli errori di nomenclatura
Figurati, te li dico perché io sono il primo a confondermi!
Un endomorfismo (isomorfismo) deve rispettare questa regola:
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
Prova a verificare quali sono questi endomorfismi in $ZZ_4$.
Un endomorfismo (isomorfismo) deve rispettare questa regola:
$f(x+y)=f(x)+f(y)$
Prova a verificare quali sono questi endomorfismi in $ZZ_4$.
Non dovrebbero essere tutti e solo quelli che abbiamo visto fino adesso?
Sì, ovviamente, ma dovresti dimostrarlo 
Eheheh
Eheheh
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