Esercizio aritmetica modulare
Ciao a tutti , ho il seguente esercizio:
Calcolare $x^18$ per ogni $x in Z_(19)$
io ho diviso l'esercizio in due parti:
1) se il MCD(x,19)=1
2) se il MCD(x,19) diverso da 1
per il primo punto ho messo che $x^18= 1 $ per il Piccolo teorema di Fermat. Spero sia giusto
Per quanto riguarda il secondo punto non saprei come muovermi.
Mi potreste aiutare?
Vi ringrazio per la disponibilità
Calcolare $x^18$ per ogni $x in Z_(19)$
io ho diviso l'esercizio in due parti:
1) se il MCD(x,19)=1
2) se il MCD(x,19) diverso da 1
per il primo punto ho messo che $x^18= 1 $ per il Piccolo teorema di Fermat. Spero sia giusto
Per quanto riguarda il secondo punto non saprei come muovermi.
Mi potreste aiutare?
Vi ringrazio per la disponibilità
Risposte
Stai attento: l'esercizio ti dice che $x \in \mathbb{Z}_{19}$.
In particolare, tecnicamente $x$ non e' un intero che puoi usare per fare $MCD$ con $19$, ma una classe di resto. Ora, quale e' un buon sistema di rappresentati per le classi di resto modulo $19$, che in sostanza ci permette di dire che l'esercizio e' (quasi) concluso con l'argomento che gia' hai usato?
In particolare, tecnicamente $x$ non e' un intero che puoi usare per fare $MCD$ con $19$, ma una classe di resto. Ora, quale e' un buon sistema di rappresentati per le classi di resto modulo $19$, che in sostanza ci permette di dire che l'esercizio e' (quasi) concluso con l'argomento che gia' hai usato?
scusami non ho capito bene il tuo suggerimento.
scusatemi se dico queste cose ma è il primo giorno che affronto questi argomenti
scusatemi se dico queste cose ma è il primo giorno che affronto questi argomenti
$\mathbb{Z}_{19}$ non e' un insieme fatto di numeri. E' un insieme fatto di $19$ diverse classi di resto (appunto le classi di congruenza modulo $19$). Se $x$ e' un elemento di $\mathbb{Z}_{19}$, $x$ non e' un numero, quindi scrivere $MCD(x,19)$ non vuol dire nulla.
Tuttavia, $x$ puo' essere rappresentato da un numero intero (in realta' infiniti numeri interi, tutti nella stessa classe modulo $19$). Ad esempio la classe di $1$ in $\mathbb{Z}_{19}$ puo' essere rappresentata dall'intero $1$, ma anche dall'intero $20$ e anche dall'intero $39$ (o qualunque intero della forma $19k+1$).
Ora, siccome le operazioni su $\mathbb{Z}_{19}$ sono ben definite e possono essere calcolate sui rappresentanti, a noi basta calcolare in che classe modulo $19$ vive $a^{18}$ per alcuni interi $a$ che siano un sistema di rappresentanti per le classi modulo $19$. Sugli interi $a$ possiamo applicare il ragionamento che hai fatto tu.
Osserviamo che se $MCD(a,19) = 1$ allora possiamo applicare il piccolo Teorema di Fermat, e vinciamo.
Ora, se $MCD(a,19)$ non e' $1$, che altro potrebbe essere?
Tuttavia, $x$ puo' essere rappresentato da un numero intero (in realta' infiniti numeri interi, tutti nella stessa classe modulo $19$). Ad esempio la classe di $1$ in $\mathbb{Z}_{19}$ puo' essere rappresentata dall'intero $1$, ma anche dall'intero $20$ e anche dall'intero $39$ (o qualunque intero della forma $19k+1$).
Ora, siccome le operazioni su $\mathbb{Z}_{19}$ sono ben definite e possono essere calcolate sui rappresentanti, a noi basta calcolare in che classe modulo $19$ vive $a^{18}$ per alcuni interi $a$ che siano un sistema di rappresentanti per le classi modulo $19$. Sugli interi $a$ possiamo applicare il ragionamento che hai fatto tu.
Osserviamo che se $MCD(a,19) = 1$ allora possiamo applicare il piccolo Teorema di Fermat, e vinciamo.
Ora, se $MCD(a,19)$ non e' $1$, che altro potrebbe essere?
ok allora a me mi verrebbe da rispondere(ovviamente non ne sono sicuro):
siccome 19 è primo il MCD può essere 1 o 0.
Spero di non aver detto una cavolata
siccome 19 è primo il MCD può essere 1 o 0.
Spero di non aver detto una cavolata
Il MCD e' un divisore. E' difficile per $0$ dividere qualcosa. Essendo $19$ primo, il $MCD(19,a)$ puo' essere solo $19$ o $1$.
Quando e' $1$ abbiamo vinto con l'argomento che usa il Piccolo Teorema di Fermat.
Cosa succede se e' $19$?
Quando e' $1$ abbiamo vinto con l'argomento che usa il Piccolo Teorema di Fermat.
Cosa succede se e' $19$?
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