Esercizio approssimazione numeri irrazionali

[tuorlina1]

Ambito: vogliamo approssimare un numero reale [tex]$\gamma$[/tex] con frazioni h/k dove la precisione e' una funzione F(k). Riteniamo il denominatore k maggiore di 0.
Cerchiamo cioe' soluzioni h/k della disequazione | [tex]$\gamma$[/tex] - h/k | < F(k).

Esercizio: Dimostrare che, per ogni irrazionale [tex]$\gamma$[/tex] e ogni naturale n, la disequazione | [tex]$\gamma$[/tex] - [tex]$h/k$[/tex] | < [tex]$1/2k$[/tex] ha infinite soluzioni.

Non riesco a capire come fare!
Dunque supponiamo per assurdo che la disequazione abbia un numero finito di soluzioni S = { [tex]$h_i/k_i$[/tex] } con i = 0,..,s.
Si ha dunque che | [tex]$\gamma$[/tex] - [tex]$h_i/k_i$[/tex] | < [tex]$1/2k$[/tex] $AA$ i = 0,..,s.

Ora immagino di dover trovare una proprieta' comune a queste soluzioni dell'insieme S, e poi trovare un'altra soluzione che non soddisfi questa proprieta',
e devo sicuramente usare il fatto che [tex]$\gamma%[/tex] e' irrazionale,
cioe' $AA$ m naturale $EE$ h tale che [tex]$(h-1)/m$[/tex] < [tex]$\gamma$[/tex] < [tex]$h/m$[/tex]

Potete aiutarmi? Grazie!

[mickey88]

C'è qualcosa di poco chiaro:

Dimostrare che, per ogni irrazionale $\gamma$ e ogni naturale n, la disequazione $| \gamma - h/k | < 1/2k$ ha infinite soluzioni

Non capisco se il $k$ al primo memmbro e quello al secondo sono uguali e non vedo dove entri in gioco il naturale $n$ di cui parli.
Non solo, se i due $k$ sono uguali, il risultato è banale, infatti, supposto $\gamma$ positivo, tenendo fisso $h$ ottengo infinite soluzioni al crescere di $k$, infatti, da un certo $k$ in poi, il secondo membro sarà maggiore di $\gamma$ mentre il primo non lo è mai. D'altra parte questo è vero anche se $\gamma$ non è irrazionale.. Dovresti dirmi qualcosa sull'uguaglianza o meno dei $k$ al primo e secondo membro della disequazione..

[tuorlina1]

L'esercizio l'ho scritto esattamente come l'ho trovato, infatti ieri mi sono chiesta le stesse tue cose...ma sono arrivata alla conclusione che i due k sono uguali!

Comunque io l'ho dimostrato cosi' (prendendo molto spunto dal T. di Lagrange-Dirichlet) :

- se [tex]$\gamma$[/tex] e' irrazionale, scelgo m naturale in modo che | [tex]$\gamma$[/tex] - [tex]$h_i/k_i$[/tex] | > [tex]$1/m$[/tex] $AA$ i=1,..,s
Con lo stesso m, $EE$ h tale che [tex]$(h-1)/m$[/tex] < [tex]$\gamma$[/tex] < [tex]$h/m$[/tex]
Considero [tex]$\gamma$[/tex] - [[tex]$\gamma$[/tex]] (parte intera di [tex]$\gamma$[/tex]) che e' quindi compreso tra 0 e [tex]$1/m$[/tex]
E quindi 0 < k[tex]$\gamma$[/tex] - [k[tex]$\gamma$[/tex]] < [tex]$k/m$[/tex] (moltiplicando per k)

Si ha quindi, per qualche k <= [tex]$m/2$[/tex]
|[tex]$\gamma$[/tex] - [tex]$[k\gamma]/k[/tex]| < [tex]$k/km$[/tex] = [tex]$1/m$[/tex] < [tex]$1/2k$[/tex]
Dunque [tex]$[k\gamma]/k[/tex] risolve la disequazione iniziale, ma non appartiene all'insieme finito di soluzioni S!

- se [tex]$\gamma$[/tex] e' razionale:
[tex]$\gamma$[/tex] = [tex]$r/s$[/tex] diverso da [tex]$h/m$[/tex]
quindi |[tex]$\gamma$[/tex] - [tex]$h/k$[/tex]| = | [tex]$(rk-hs)/sk$[/tex]| >= [tex]$1/sk$[/tex]
Quindi l'insieme delle soluzioni e' finito perche' deve essere s>2.

.....plausibile?

[mickey88]

Se i due $k$ sono uguali, per gli argomenti che ho scritto nel post precedente, sono abbastanza convinto che le soluzioni siano infinite indipendentemente dal fatto che [tex]\gamma[/tex] sia razionale o meno...