Esercizio anello Q[X]!
Buonasera a tutti!
Eccomi qui di nuovo con dei dubbi su alcuni esercizi, questa volta sugli anelli!
Allora espongo qui il quesito:
Sia $Q[X]$ l'anello dei polinomi nel campo dei numeri razionali:
Assegnato $ A = {f(x) \in Q[X] | f(1) \in Z} $:
1) Verificare che A è sottoanello di $Q[X]$;
2) Fissato un numero $n \in N$ si consideri $I_n = {f(x) \in A | f(1) = 0$ in $Z_n}$: verificare che $I_n$ è un ideale di A. $I_n$ è un ideale anche di $Q[x]$?
3)Si considerino i seguenti ideali $J_1 = (x+5), J_2 = (frac{x+5}{2}), J_3 = (frac{x+5}{3}) e J_4=(frac{x+5}{6})$. Studiare le loro inclusioni, in particolare verificare che $ J_1 = J_2 nn J_3$ e $J_4 = J_2 + J_3 $.
Ora il primo punto e la prima parte del secondo sono solo noiose verifiche.
Invece ho un dubbio per quando riguarda la seconda parte ovvero verificare che $I_n$ è un ideale anche in $Q[x]$.
Considero quindi un generico polinomio $q(x)$ di $Q[x]$, un generico polinomio $f(x)$ dell'Ideale $I_n$ e devo verificare che il prodotto $q(x)f(x)$ appartenga ancora all'ideale $I_n$:
quindi calcolo tale polinomio in 1: $q(1)f(1)$ e devo verificare che tale numero sia uguale a zero in $Z_n$ ma adesso di questo numero non posso dire nulla no? Perchè in generale non appartine neanche a Z quindi... è giusto il mio ragionamento?
Invece per il punto 3 non so come fare... non ho ben chiaro come verificare le inclusioni di ideali!
Eccomi qui di nuovo con dei dubbi su alcuni esercizi, questa volta sugli anelli!
Allora espongo qui il quesito:
Sia $Q[X]$ l'anello dei polinomi nel campo dei numeri razionali:
Assegnato $ A = {f(x) \in Q[X] | f(1) \in Z} $:
1) Verificare che A è sottoanello di $Q[X]$;
2) Fissato un numero $n \in N$ si consideri $I_n = {f(x) \in A | f(1) = 0$ in $Z_n}$: verificare che $I_n$ è un ideale di A. $I_n$ è un ideale anche di $Q[x]$?
3)Si considerino i seguenti ideali $J_1 = (x+5), J_2 = (frac{x+5}{2}), J_3 = (frac{x+5}{3}) e J_4=(frac{x+5}{6})$. Studiare le loro inclusioni, in particolare verificare che $ J_1 = J_2 nn J_3$ e $J_4 = J_2 + J_3 $.
Ora il primo punto e la prima parte del secondo sono solo noiose verifiche.
Invece ho un dubbio per quando riguarda la seconda parte ovvero verificare che $I_n$ è un ideale anche in $Q[x]$.
Considero quindi un generico polinomio $q(x)$ di $Q[x]$, un generico polinomio $f(x)$ dell'Ideale $I_n$ e devo verificare che il prodotto $q(x)f(x)$ appartenga ancora all'ideale $I_n$:
quindi calcolo tale polinomio in 1: $q(1)f(1)$ e devo verificare che tale numero sia uguale a zero in $Z_n$ ma adesso di questo numero non posso dire nulla no? Perchè in generale non appartine neanche a Z quindi... è giusto il mio ragionamento?
Invece per il punto 3 non so come fare... non ho ben chiaro come verificare le inclusioni di ideali!
Risposte
per il secondo punto penso che non sia ideale di Q[X], ma non sono sicuro.
Per quanto riguarda l' inclusione di ideali (ideali principali come questo caso cioè generati da un elemento):
[tex](a) \subseteq (b) \Leftrightarrow b|a[/tex]
Per quanto riguarda l' inclusione di ideali (ideali principali come questo caso cioè generati da un elemento):
[tex](a) \subseteq (b) \Leftrightarrow b|a[/tex]
Ciao!
Ora il primo punto e la prima parte del secondo sono solo noiose verifiche.No, non sono solo noiose verifiche. $A$ è un sottoanello di $QQ[X]$ perché è la controimmagine di $ZZ$ tramite l'omomorfismo $QQ[X] to QQ$, $f(x) to f(1)$ (e la controimmagine di un sottoanello tramite un omomorfismo di anelli è un sottoanello: questo è un fatto basilare). $I_n$ è un ideale di $A$ perché è il nucleo dell'omomorfismo $A to ZZ_n$, $f(x) to f(1)+nZZ$ (e il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale del dominio: questo è un fatto basilare).
Invece ho un dubbio per quando riguarda la seconda parte ovvero verificare che $I_n$ è un ideale anche in $Q[x]$.Osserva che $n in I_n$, ma [tex]n/2 \not \in I_n[/tex].
"Martino":
Ciao!
Ora il primo punto e la prima parte del secondo sono solo noiose verifiche.No, non sono solo noiose verifiche. $A$ è un sottoanello di $QQ[X]$ perché è la controimmagine di $ZZ$ tramite l'omomorfismo $QQ[X] to QQ$, $f(x) to f(1)$ (e la controimmagine di un sottoanello tramite un omomorfismo di anelli è un sottoanello: questo è un fatto basilare). $I_n$ è un ideale di $A$ perché è il nucleo dell'omomorfismo $A to ZZ_n$, $f(x) to f(1)+nZZ$ (e il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale del dominio: questo è un fatto basilare).
Invece ho un dubbio per quando riguarda la seconda parte ovvero verificare che $I_n$ è un ideale anche in $Q[x]$.Osserva che $n in I_n$, ma [tex]n/2 \not \in I_n[/tex].
Diciamo che ci sono andato tramite definizione perchè non sono molto avvezzo agli esercizi sugli anelli e quindi non ho pensato a omomorfismi ecc ecc. Comunque grazie può tornare utile
Ma invece per l'inclusioni di ideali cosa dovrei fare?!? Esistono teoremi che non mi vengono in mente?
"efin_90":Quello che ti ha detto Hop Frog.
Ma invece per l'inclusioni di ideali cosa dovrei fare?!? Esistono teoremi che non mi vengono in mente?
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