Esercizio Algebre di Lie
Ciao a tutti.
Sto avendo delle difficoltà a capire alcune cose riguardanti le rappresentazioni di algebre di Lie. Probabilmente le mie difficoltà sono dovute a carenze nella preparazione sui moduli in generale. In particolare faccio grande fatica a muovermi tra prodotti tensoriali, algebre inviluppanti, algebre tensori etc.
(parte di un) esercizio:
Abbiamo un'algebra di Lie $L$, con sottoalgebra torale massimale (o sottoalgebra di Cartan) $H$, (e sistema di radici $\Phi$ con base $\Delta$).
$\lambda \in H^{dual}$ è un funzionale lineare su $H$.
$U(L)$ è l'algebra inviluppante universale di $L$, e $Z(\lambda)$ è il modulo di Verma ciclico con peso massimale $\lambda$.
$v^+$ è un vettore massimale di $Z(\lambda)$, con peso $\mu$
Devo mostrare che $U(L).v^+$ e $Z(\mu)$ sono isomorfi come $L-$moduli.
Lo so che è contro la politica del forum e che dovrei dare una mia soluzione, ma io non so da dove cominciare. Il riferimento per l'esercizio è l'Humprhreys (introduction to lie algebras and representations).
Appena mi viene qualcosa in mente aggiorno subito il post. Se qualcuno può darmi un aiuto di qualsiasi tipo per capire come ragionare, ha del materiale con esempi, esercizi guidati.. non lo so. Qualsiasi cosa.
Grazie
Claudia
Sto avendo delle difficoltà a capire alcune cose riguardanti le rappresentazioni di algebre di Lie. Probabilmente le mie difficoltà sono dovute a carenze nella preparazione sui moduli in generale. In particolare faccio grande fatica a muovermi tra prodotti tensoriali, algebre inviluppanti, algebre tensori etc.
(parte di un) esercizio:
Abbiamo un'algebra di Lie $L$, con sottoalgebra torale massimale (o sottoalgebra di Cartan) $H$, (e sistema di radici $\Phi$ con base $\Delta$).
$\lambda \in H^{dual}$ è un funzionale lineare su $H$.
$U(L)$ è l'algebra inviluppante universale di $L$, e $Z(\lambda)$ è il modulo di Verma ciclico con peso massimale $\lambda$.
$v^+$ è un vettore massimale di $Z(\lambda)$, con peso $\mu$
Devo mostrare che $U(L).v^+$ e $Z(\mu)$ sono isomorfi come $L-$moduli.
Lo so che è contro la politica del forum e che dovrei dare una mia soluzione, ma io non so da dove cominciare. Il riferimento per l'esercizio è l'Humprhreys (introduction to lie algebras and representations).
Appena mi viene qualcosa in mente aggiorno subito il post. Se qualcuno può darmi un aiuto di qualsiasi tipo per capire come ragionare, ha del materiale con esempi, esercizi guidati.. non lo so. Qualsiasi cosa.
Grazie
Claudia
Risposte
Propongo una cosa: potresti definire gli oggetti di cui parli, magari e' utile a te per chiarire un po' le idee ed e' utile a noi per capire almeno di cosa stai parlando 
Ciao Martino, grazie per aver risposto. Si scusa se non ho definito ma le def. sono lunghe e incasinate, e ho pensato che potesse aiutarmi comunque solo qualcuno a cui fosse molto nota la materia. In ogni caso:
La definizione di algebra di Lie è
Spazio vettoriale con prodotto $[,]$ (bracket) non associativo, che soddisfa:
$[x, [y,z]] + [y, [z,x]] + [z, [x,y]]=0$
$[x,y] = -[y,x]$
$[ax+by,z] = a[x,z]+b[y,z]$ (e linearità anche sulla seconda componente).
L'algebra inviluppante universale $U(L)$ di $L$ ha una def. un po' lunga. In breve è costruita come algebra associativa unitaria che contiene $L$. Cioè esiste una mappa lineare $i: L \to U(L)$ tale che $i([x,y]) = i(x)i(y) - i(y)i(x)$. (Penso che l'idea è che così ha senso dire che $[x,y] = xy - yx$ dove $xy$ è il prodotto tra $x$ e $y$ in $U(L)$). Ha una proprietà universale:
Per ogni mappa lineare $j:L \to A$, con $A$ associativa unitaria, tale che $j(x)j(y) - j(y)j(x) = j([x,y])$ esiste un unica estensione $\phi$ da $U(L)$ ad $A$ che manda $1_U$ in $1_A$ e la composizione $\phi \circ i = j$.
Per la costruzione si prende l'algebra tensore $I(L)$, che è l'unione disgiunta dei $T^mL$ al variare di $m$, con $T^mL$ che indica il prodotto tensoriale di $L$ con se stessa $m$ volte.
Si quozienta $I(L)$ con l'ideale generato dalle relazioni $[x,y] - x\times y +y\times x$, e il quoziente è $U(L)$. ($\times$ è il prodotto tensoriale).
Il teorema di Poincarè-Birkhoff-Witt dice che l'algebra graduata $G(L)$ associata a $U(L)$ è isomorfa all'algebra simmetrica $S(L)$. E ha come corollario il fatto che $L$ si immerge iniettivamente dentro $U(L)$.
Se interessa definisco anche $G(L)$ e $S(L)$.
Grazie a tutti
La definizione di algebra di Lie è
Spazio vettoriale con prodotto $[,]$ (bracket) non associativo, che soddisfa:
$[x, [y,z]] + [y, [z,x]] + [z, [x,y]]=0$
$[x,y] = -[y,x]$
$[ax+by,z] = a[x,z]+b[y,z]$ (e linearità anche sulla seconda componente).
L'algebra inviluppante universale $U(L)$ di $L$ ha una def. un po' lunga. In breve è costruita come algebra associativa unitaria che contiene $L$. Cioè esiste una mappa lineare $i: L \to U(L)$ tale che $i([x,y]) = i(x)i(y) - i(y)i(x)$. (Penso che l'idea è che così ha senso dire che $[x,y] = xy - yx$ dove $xy$ è il prodotto tra $x$ e $y$ in $U(L)$). Ha una proprietà universale:
Per ogni mappa lineare $j:L \to A$, con $A$ associativa unitaria, tale che $j(x)j(y) - j(y)j(x) = j([x,y])$ esiste un unica estensione $\phi$ da $U(L)$ ad $A$ che manda $1_U$ in $1_A$ e la composizione $\phi \circ i = j$.
Per la costruzione si prende l'algebra tensore $I(L)$, che è l'unione disgiunta dei $T^mL$ al variare di $m$, con $T^mL$ che indica il prodotto tensoriale di $L$ con se stessa $m$ volte.
Si quozienta $I(L)$ con l'ideale generato dalle relazioni $[x,y] - x\times y +y\times x$, e il quoziente è $U(L)$. ($\times$ è il prodotto tensoriale).
Il teorema di Poincarè-Birkhoff-Witt dice che l'algebra graduata $G(L)$ associata a $U(L)$ è isomorfa all'algebra simmetrica $S(L)$. E ha come corollario il fatto che $L$ si immerge iniettivamente dentro $U(L)$.
Se interessa definisco anche $G(L)$ e $S(L)$.
Grazie a tutti
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