Esercizio Algebra relazione di equivalenza e insieme quoziente
salve,
vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio:
sia M=RXR. sull'insieme M si definisce la relazione (a,b) $ -= $ (c,d) se e solo se a+b=c+d. innanzitutto devo dimostrare se è una relazione di equivalenza, e lo faccio verificando che valgano le proprietà di riflessività, simmetria (lo verificata dicendo che essendo RxR un anello, allora vale la proprietà commutativa, giusto? ) e di transitiva.
ora però la parte che non capisco e quella in cui mi chiede di dare una descrizione dell'insieme delle classi di equivalenza m/$ -= $ ( ovvero dell'insieme quoziente)
qualcuno gentilmente mi puoi illuminare
?
grazie mille in anticipo a tutti
vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio:
sia M=RXR. sull'insieme M si definisce la relazione (a,b) $ -= $ (c,d) se e solo se a+b=c+d. innanzitutto devo dimostrare se è una relazione di equivalenza, e lo faccio verificando che valgano le proprietà di riflessività, simmetria (lo verificata dicendo che essendo RxR un anello, allora vale la proprietà commutativa, giusto? ) e di transitiva.
ora però la parte che non capisco e quella in cui mi chiede di dare una descrizione dell'insieme delle classi di equivalenza m/$ -= $ ( ovvero dell'insieme quoziente)
qualcuno gentilmente mi puoi illuminare
?grazie mille in anticipo a tutti
Risposte
Ok, aspetta, mi serve un chiarimentuccio. M=RXR significa $M=RR xx RR$ dove $RR$ è l'insieme dei numeri reali? In questo caso le tre proprietà si verificano immediatamente, semplicemente perchè "=" è una relazione d'equivalenza.
Riflessiva: $(a,b) -= (a,b) hArr a+b = a+b$, ovvio
Simmetrica: se $a+b = c+d$ è ovvio che $c+d = a+b$
Transitiva: se $a+b = c+d e c+d = e+f$, allora ovviamente $a+b = e+f$.
Quanto a descrivere le classi di equivalenza, non c'è poi molto da dire. Una classe d'equivalenza è l'insieme di tutti gli elementi equivalenti tra loro. Quindi ad esempio la classe di (1,1) contiene (2,0), (0,2), (5,-3) e così via. Forse questo insieme quoziente ha qualche proprietà ma non ne vedo ad occhio.
Riflessiva: $(a,b) -= (a,b) hArr a+b = a+b$, ovvio
Simmetrica: se $a+b = c+d$ è ovvio che $c+d = a+b$
Transitiva: se $a+b = c+d e c+d = e+f$, allora ovviamente $a+b = e+f$.
Quanto a descrivere le classi di equivalenza, non c'è poi molto da dire. Una classe d'equivalenza è l'insieme di tutti gli elementi equivalenti tra loro. Quindi ad esempio la classe di (1,1) contiene (2,0), (0,2), (5,-3) e così via. Forse questo insieme quoziente ha qualche proprietà ma non ne vedo ad occhio.
il testo non specifica niente su R quindi credo si riferisca ai numeri reali. comunque grazie
Ok, a meno che R non sia definito prima in qualche modo è sicuramente l'insieme dei reali.
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