Esercizio algebra

[alberto861]

sia $p$ primo dispari dimostrare che:
1) $x^2 = -1 (mod p) $ ha soluzione in $Z$ se e solo se $p=1 (mod 4)$
2)$p$ è primo in $Z$ se e solo se $p=3 (mod 4)$
3)se $p=1 (mod 4)$ allora $p=st$ con $s,t$ primi in $Z$

[Gaal Dornick]

La caratterizzazione dei primi di Gauss! Il mio avatar su msn..
A noi è stata data senza dimostrazione..quindi mi metto subito al lavoro!

[Steven11]

"alberto86":sia $p$ primo dispari dimostrare che:
1) $x^2 = -1 (mod p) $ ha soluzione in $Z$ se e solo se $p=1 (mod 4)$

Per il criterio di Eulero, $-1$ è un residuo quadratico modulo p solo se
$(-1)^((p-1)/2)\equiv1 (modp)$

da cui discende facilmente che deve aversi

$(-1)^((p-1)/2)=1

ovvero
$(p-1)/2=2n \quad ninNN$ cioè
$p=4n+1 \quad\quad =>p\equiv1(mod4)$