Esercizio Algebra 2

[fabjolie1]

Salve a tutti, devo far l'esame di Algebra 2, e non ricordo quasi nulla di algebra 1, quindi vi chiedo una mano con questi due esercizi.. grazie in anticipo

Esiste un morfismo di anelli da \( \mathbb{Z}_{7}[x] \quad \text{a} \quad \mathbb{Z}_{14}[x] \text{/}(x^{2} + 1) \) ??

e si dica se i due campi \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \quad \text{e} \quad \mathbb{Q}(1+\sqrt{3}) \) sono isomorfi

[ale.b14]

Per quanto riguarda il secondo quesito si ha innanzi tutto $\mathbb{Q}(1+sqrt3)=\mathbb{Q}(sqrt3)$. Se ora per assurdo questi due campi fossero isomorfi, dovrebbe esistere $\alpha\in\mathbb{Q}(sqrt3)$ tale che $\alpha^2=2$. fai i conti e dimostra che non esiste un tale $\alpha$.

[fabjolie1]

si, grazie mille.. al secondo esercizio ci son arrivato non appena ho riletto la teoria.. invece il primo rimane un mistero :S
so che esiste, solo se la caratteristica del secondo divide quella del primo.. ma come faccio a trovare la caratteristica?

[Key918]

"fabjolie":si, grazie mille.. al secondo esercizio ci son arrivato non appena ho riletto la teoria.. invece il primo rimane un mistero :S
so che esiste, solo se la caratteristica del secondo divide quella del primo.. ma come faccio a trovare la caratteristica?

Partendo da questo spunto che ti sei dato potresti trovare un morfismo suriettivo da $\mathbb{Z/(14Z)} \rightarrow A$ ,dove $A$ è un opportuno anello, che abbia come nucleo $x^2+1$. Due anelli isomorfi hanno stessa caratteristica e da lì puoi trarre la conclusione.

[fabjolie1]

il problema è che non so come trovare le caratteristiche