Esercizio algebra 2
Ho il seguente esercizio:
"Sia G un gruppo abeliano di cardinalita' n. Dimostrare che per ogni divisore $m>0$ di n, esiste un sottogruppo H di G con cardinalita' m"
Io ho pensato di procedere per induzione:
Suppongo che $|G|=1$ e quindi $m=1$ esiste il sottogruppo $H$ di ordine 1 che coincide con G
Suppongo vero per $|G|
Se m non e' primo posso scomporlo in numeri primi...
a questo punto come proseguo?
"Sia G un gruppo abeliano di cardinalita' n. Dimostrare che per ogni divisore $m>0$ di n, esiste un sottogruppo H di G con cardinalita' m"
Io ho pensato di procedere per induzione:
Suppongo che $|G|=1$ e quindi $m=1$ esiste il sottogruppo $H$ di ordine 1 che coincide con G
Suppongo vero per $|G|
Se m non e' primo posso scomporlo in numeri primi...
a questo punto come proseguo?
Risposte
Conosci i teoremi di sylow?
Si
Allora il primo passo per risolvere l'esercizio è dimostrare che un gruppo abeliano FINITO è il prodotto diretto dei suoi sylow.
Ok, questo gia' lo ha fatto il professore in classe
Bene. Se G è ciclico non c'è nulla da dimostrare, supponiamo $G$ non ciclico di cardinalità $|G|= n = p_1^{alpha_1}*...*p_k^{alpha_k}$, sai che $G = N_1 xx ... xx N_k$, dove $N_i$ è un $p_i$ sylow.
Da qui in avanti continua tu, chiediti cosa vuol dire che $m | n$ in termini di fattori primi e come puoi costruire(magari mediante un prodotto diretto di opportuni sottogruppi) un sottogruppo di cardinalità $m$.
Da qui in avanti continua tu, chiediti cosa vuol dire che $m | n$ in termini di fattori primi e come puoi costruire(magari mediante un prodotto diretto di opportuni sottogruppi) un sottogruppo di cardinalità $m$.
Usare la teoria di Sylow per risolvere problemi
che riguardano solo gruppi commutativi,
va vietato secondo me.
La strada proposta da @Ludovica_97 trovo molto piu’
ragionevole, solo che forse e’ piu’ facile procedere per
induzione rispetto ad $m$ invece di $n$:
Il caso $m=1$ e’ ovvio. Se $m>1$, sia $p$ un divisore primo di $m$.
Sia $x\in G$ un elemento di ordine $p$. Per induzione, il gruppo $G//\langle x\rangle$
contiene un sottogruppo $H’$ di cardinalita’ $m//p$. Il controimmagine di $H'$ in $G$
e’ un sottogruppo di $G$ di cardinalita’ $m$.
che riguardano solo gruppi commutativi,
va vietato secondo me.
La strada proposta da @Ludovica_97 trovo molto piu’
ragionevole, solo che forse e’ piu’ facile procedere per
induzione rispetto ad $m$ invece di $n$:
Il caso $m=1$ e’ ovvio. Se $m>1$, sia $p$ un divisore primo di $m$.
Sia $x\in G$ un elemento di ordine $p$. Per induzione, il gruppo $G//\langle x\rangle$
contiene un sottogruppo $H’$ di cardinalita’ $m//p$. Il controimmagine di $H'$ in $G$
e’ un sottogruppo di $G$ di cardinalita’ $m$.
Hai ragione, non ho riflettuto abbastanza sulla soluzione proposta dall'op e ho invocato subito sylow. È molto meglio il il tuo ragionamento, Stickelberger! Dalle tue risposte c'è sempre qualcosa da imparare, grazie. 
Ciao!
Ciao!
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