Esercizio

[oeoe1]

Mi riuscite ad aiutare su questo esercizio?

Sia $ ZZ $ l'anello dei numeri interi trelativi. Dimstrare che gli unici endomorfismi $ ZZ rarr ZZ $ sono l'endomorfismo nullo e l'automorfismo identico

[Gi81]

Ciao e benvenut* nel forum

"oeoe":Sia $ ZZ $ l'anello dei numeri interi trelativi

Al massimo relativi

"oeoe":Dimostrare che gli unici endomorfismi $f: ZZ rarr ZZ $ sono l'endomorfismo nullo e l'automorfismo identico

Non ci sono solo quelli. Anche $f(x)=2x$ è un endomorfismo

[mistake89]

Può benissimo essere che io stia ancora dormendo ma $f(x)=2x$ non è un omomorfismo.
$f(xy)=2xy$ mentre $f(x)f(y)=2x2y=4xy$

Supponendo $ZZ$ con la sua struttura standard.

[oeoe1]

Infatti perchè f(x)=2x?? mi trovo con il fatto che l'identità e l'endo morfismo lo siano,ma non riesco a capire come dimostrare che siano gli unici

[Gi81]

Si, è vero. Non avevo visto che eravamo nell'anello degli interi (pensavo al gruppo additivo).
Ok, allora ci sono solo quei due

[gugo82]

@oeoe: Ragiona per assurdo: supponi che ce ne sia uno diverso e dimostra che cadi in contraddizione.
Per farlo, basta usare l'osservazione di mistake89 e la caratterizzazione degli omomorfismi di [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] in sé.

[j18eos]

"gugo82":@oeoe... la caratterizzazione degli omomorfismi di [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] in sé.

I quali tecnicamente si chiamano endomorfismi!

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]oeoe, sei pregato di inserire un titolo che specifichi l'argomento di cui parli. Clicca su "modifica" nel tuo primo intervento. Grazie.[/mod]

[Studente Anonimo]

"j18eos":[quote="gugo82"]@oeoe... la caratterizzazione degli omomorfismi di [tex]$(\mathbb{Z},+)$[/tex] in sé.

I quali tecnicamente si chiamano endomorfismi![/quote]Si', ma del gruppo additivo