Esercizio
Ciao...
Mi date una mano a risolvere questo esercizio sui gruppi??
Grazie mille...
Mi date una mano a risolvere questo esercizio sui gruppi??
Grazie mille...
Risposte
up!!!
Ciao!
Son quasi tutte immediate...
a) le proprietà si verificano facilmente...(elt neutro è $f(1)=1$, elt inverso di $f(g)$ è $f(g^{-1})$...)
b) per la suriettività puoi esprimere tutti gli elt $g$ di $G'$ come $g=f(x)$, $x\in G$, poi utilizzando la def di sotto gruppo normale arrivi subito
c)fai in modo di passare in $H'$, per utilizzare che è un gruppo
x esempio x l'inversa: sia $x\in f^{-1}(H')$, vuoi verificare che $x^{-1}\inf^{-1}(H')$; allora: $x\in f^{-1}(H')$ implica che $f(x) \in H'$, $H'$ sottogruppo, dunque $f(x)^{-1} \in H'$, ed essendo f un morfismo, $f(x)^{-1}=f(x^{-1})$; quindi $x^{-1} \in f^{-1}(H')$
d) un po'come b)
e) come b) e d)
(chiaramente per la normalità usi la proprietà $a^{-1}Ha \sube H$ per tutti gli $a \in G$)
ciao
Son quasi tutte immediate...
a) le proprietà si verificano facilmente...(elt neutro è $f(1)=1$, elt inverso di $f(g)$ è $f(g^{-1})$...)
b) per la suriettività puoi esprimere tutti gli elt $g$ di $G'$ come $g=f(x)$, $x\in G$, poi utilizzando la def di sotto gruppo normale arrivi subito
c)fai in modo di passare in $H'$, per utilizzare che è un gruppo
x esempio x l'inversa: sia $x\in f^{-1}(H')$, vuoi verificare che $x^{-1}\inf^{-1}(H')$; allora: $x\in f^{-1}(H')$ implica che $f(x) \in H'$, $H'$ sottogruppo, dunque $f(x)^{-1} \in H'$, ed essendo f un morfismo, $f(x)^{-1}=f(x^{-1})$; quindi $x^{-1} \in f^{-1}(H')$
d) un po'come b)
e) come b) e d)
(chiaramente per la normalità usi la proprietà $a^{-1}Ha \sube H$ per tutti gli $a \in G$)
ciao
grazie per la risposta... ci ragiono su!
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