Esercizi vari sugli anelli.
Buonasera sto provando a svolgere alcuni esercizi riguardanti gli anelli, in particolare
Sia $A=QQtimesZZ_8(+,*)$ anello, mi si chiede di svolgere i seguenti punti:
1) Cardinalità e caratteristica di $A$
Essendo $A$ espresso come il prodotto cartesiano di $QQtimesZZ_8$ i quali sono entrambi numerabili, allora anche il prodotto cartesiano è numerabile.
Allora $A$ è numerabile ossia è equipotente all'insieme dei numeri naturali $NN$, per cui la sua cardinalità è $aleph_0.$
Invece per quanto concerne la caratteristica, osservo che la caratteristica di $A$ che denoto con $c=carA,$ può assumere valore nullo oppure valore strettamente positivo.
Sia $(1,bar{1})$ elemento neutro di $A$, dove $c="min"{n>0 \:\ n*(1,bar{1})=0}$ poiché non esiste nessun valore positivo intero per cui $n*(1,bar{1})=(0,bar{0})$, allora $c=0.$
2)Scrivere gli elementi invertibili e suoi divisori dello zero
$(x,y) in A$ è invertibile $: leftrightarrow exists (x',y') in A \:\ (x,y)*(x',y')=(1,bar{1})$, quindi gli invertibili in $A$ sono le coppie $(x,y)$ con $x in QQ-{0}\,\ y in {bar{1},bar{3},bar{5},bar{7}}$ dove il rispettivo inverso è la coppia $(x^(-1),y')$ con $x^(-1)$ inverso di $x$ in $QQ-{0}$ e l'inverso di $y$ è $y$ stesso.
Invece i divisori dello zero sono le coppie $(0,bar{8p})$ con $p in ZZ$, infatti $(a,b)*(0,bar{8p})=(0,bar{0})$
3)Posto $S={(a,bar{0})in A\:\ a in ZZ}$, $T={(a,bar{0}) in A\:\a in QQ}$ e $V={(0,bar{b})in A\:\b in ZZ}$
verificare se sono sottoanelli, sottoanelli unitari, o ideali di $A$ e, in caso affermativo, verificare se sono domini d'integrità o campi, e se ne determini la caratteristica.
$(1,bar{0}) in S$ con $a=1in ZZ$, pertanto $S$ è non vuoto, quindi considero$(a,bar{0}),(b,bar{0}) in S$
$(a,bar{0})-(b,bar{0})=(a-b,bar{0})$ con $a-b in ZZ$ per cui $(a-b,bar{0}) in S,$
$(a,bar{0})*(b,bar{0})=(ab,bar{0})$ con $ab in ZZ$ per cui $(ab,bar{0}) in S$.
Per quanto visto $S$ è un sottoanello unitario di $A$ invece per la verifica se $S$ è un ideale di $A$,considero
$(1/2,bar{1}) in A,(3,bar{0}) in S$ risulta $(1/2,bar{1})*(3,bar{0})=(3/2,bar{0}) notin S$, quindi $S$ non è un ideale di $A$.
$S$ non è un campo, infatti se fosse un campo dovrebbe essere un corpo commutativo.
In particolare dato un anello unitario $A$ con $Ane{0}$ si ha
$A$ corpo se e solo se $exists a^(-1) in A\,\ forall in A-{0}$.
Infatti la coppia $(3,bar{0})$ non ha inverso.
Per cui $S$ non è un campo ma è un dominio d'integrità, infatti considero $(a,bar{0})ne(0,bar{0})$ e $(c,bar{0})ne(0,bar{0})$ risulta $(a,bar{0})(c,bar{0})=(ac,bar{0})=(0,bar{0}) leftrightarrow ac=0 \ "e"\ bar{0}=bar{0}$ ossia se e solo se $a=0 $ o $c=0$.
Per cui $S$ non ha divisori dello zero ed $S(+,*)$ è commutativo, quindi è un dominio d'integrità.
La caratteristica di $S$ è $c=0$.
$(1,bar{0}) in T$ con $a=1in QQ$, pertanto $T$ è non vuoto, quindi considero$(a,bar{0}),(b,bar{0}) in T$
$(a,bar{0})-(b,bar{0})=(a-b,bar{0})$ con $a-b in QQ$ per cui $(a-b,bar{0}) in T,$
$(a,bar{0})*(b,bar{0})=(ab,bar{0})$ con $ab in QQ$ per cui $(ab,bar{0}) in T$.
Per quanto visto $T$ è un sottoanello unitario di $A$ invece per la verifica se $T$ è un ideale di $A$,considero
$(x,bar{y}) in A,(e,bar{1}) in S$ risulta
$(x,bar{y})*(e,bar{0})=(xe,bar{0}) in T$, $(e,bar{0})*(x,bar{y})=(ex,bar{0}) in T$,quindi $T$ è un ideale di $A$.
$T$ campo, infatti, per quanto detto in precedenza, la coppia $(a, bar{0})$ ammette inverso $(a^(-1),bar{0})$, inoltre l'essere $T$ campo implica che $T$ è un dominio d'integrità.
La caratteristica di $T$ è $c=0.$
$forall b in ZZ \ to \ (0,bar{b}) in V$ quindi $V ne emptyset,$ in tal caso considero $(0,bar{a}), (0,bar{b}) in V$ risulta
$(0,bar{a})-(0,bar{b})=(0,bar{a-b})$ con $a-b in ZZ,$
$(0,bar{a})*(0,bar{b})=(0,bar{ab})$ con $ab in ZZ.$
quindi $V$ è un sottoanello e la coppia $(0,bar{1})$ è elemento neutro in $V$ infatti $(0,bar{1})(0,bar{x})=(0,bar{x})$ per cui $V$ è un sottoanello unitario.
Quindi per verificare se $V$ è un ideale di $A$ considero $(a,bar{x}) in A$ $(0,bar{y}) in V$ risulta
$(a,bar{x})*(0,bar{y})=(0,bar{xy}) in V$, $(0,bar{y})*(a,bar{x})=(0,bar{yx}) in V.$
Pertanto $V$ è un ideale di $A$
La coppia di $V$ $(0,bar{4})$ non ha inverso infatti per ogni coppia di $V$, $(0,bar{c})$ risulta
$(0,bar{4})*(0,bar{c})ne(0,bar{1})$ e non è nemmeno un dominio d'integrità infatti la coppia $(0,bar{8})ne(0,bar{0})$ inoltre $(0,bar{c})$ si ha $(0,bar{8})*(0,bar{c})=(0,bar{0})$ pertanto la coppia $(0,bar{8})$ è un divisore dello zero quindi $V$ non è un dominio d'integrità.
Infine la caratteristica di $V$ è $c=8$ infatti $8*(0,bar{1})=(0,bar{0})$.
Vi chiedo se ho svolto correttamente i suddetti punti.
Ciao
Sia $A=QQtimesZZ_8(+,*)$ anello, mi si chiede di svolgere i seguenti punti:
1) Cardinalità e caratteristica di $A$
Essendo $A$ espresso come il prodotto cartesiano di $QQtimesZZ_8$ i quali sono entrambi numerabili, allora anche il prodotto cartesiano è numerabile.
Allora $A$ è numerabile ossia è equipotente all'insieme dei numeri naturali $NN$, per cui la sua cardinalità è $aleph_0.$
Invece per quanto concerne la caratteristica, osservo che la caratteristica di $A$ che denoto con $c=carA,$ può assumere valore nullo oppure valore strettamente positivo.
Sia $(1,bar{1})$ elemento neutro di $A$, dove $c="min"{n>0 \:\ n*(1,bar{1})=0}$ poiché non esiste nessun valore positivo intero per cui $n*(1,bar{1})=(0,bar{0})$, allora $c=0.$
2)Scrivere gli elementi invertibili e suoi divisori dello zero
$(x,y) in A$ è invertibile $: leftrightarrow exists (x',y') in A \:\ (x,y)*(x',y')=(1,bar{1})$, quindi gli invertibili in $A$ sono le coppie $(x,y)$ con $x in QQ-{0}\,\ y in {bar{1},bar{3},bar{5},bar{7}}$ dove il rispettivo inverso è la coppia $(x^(-1),y')$ con $x^(-1)$ inverso di $x$ in $QQ-{0}$ e l'inverso di $y$ è $y$ stesso.
Invece i divisori dello zero sono le coppie $(0,bar{8p})$ con $p in ZZ$, infatti $(a,b)*(0,bar{8p})=(0,bar{0})$
3)Posto $S={(a,bar{0})in A\:\ a in ZZ}$, $T={(a,bar{0}) in A\:\a in QQ}$ e $V={(0,bar{b})in A\:\b in ZZ}$
verificare se sono sottoanelli, sottoanelli unitari, o ideali di $A$ e, in caso affermativo, verificare se sono domini d'integrità o campi, e se ne determini la caratteristica.
$(1,bar{0}) in S$ con $a=1in ZZ$, pertanto $S$ è non vuoto, quindi considero$(a,bar{0}),(b,bar{0}) in S$
$(a,bar{0})-(b,bar{0})=(a-b,bar{0})$ con $a-b in ZZ$ per cui $(a-b,bar{0}) in S,$
$(a,bar{0})*(b,bar{0})=(ab,bar{0})$ con $ab in ZZ$ per cui $(ab,bar{0}) in S$.
Per quanto visto $S$ è un sottoanello unitario di $A$ invece per la verifica se $S$ è un ideale di $A$,considero
$(1/2,bar{1}) in A,(3,bar{0}) in S$ risulta $(1/2,bar{1})*(3,bar{0})=(3/2,bar{0}) notin S$, quindi $S$ non è un ideale di $A$.
$S$ non è un campo, infatti se fosse un campo dovrebbe essere un corpo commutativo.
In particolare dato un anello unitario $A$ con $Ane{0}$ si ha
$A$ corpo se e solo se $exists a^(-1) in A\,\ forall in A-{0}$.
Infatti la coppia $(3,bar{0})$ non ha inverso.
Per cui $S$ non è un campo ma è un dominio d'integrità, infatti considero $(a,bar{0})ne(0,bar{0})$ e $(c,bar{0})ne(0,bar{0})$ risulta $(a,bar{0})(c,bar{0})=(ac,bar{0})=(0,bar{0}) leftrightarrow ac=0 \ "e"\ bar{0}=bar{0}$ ossia se e solo se $a=0 $ o $c=0$.
Per cui $S$ non ha divisori dello zero ed $S(+,*)$ è commutativo, quindi è un dominio d'integrità.
La caratteristica di $S$ è $c=0$.
$(1,bar{0}) in T$ con $a=1in QQ$, pertanto $T$ è non vuoto, quindi considero$(a,bar{0}),(b,bar{0}) in T$
$(a,bar{0})-(b,bar{0})=(a-b,bar{0})$ con $a-b in QQ$ per cui $(a-b,bar{0}) in T,$
$(a,bar{0})*(b,bar{0})=(ab,bar{0})$ con $ab in QQ$ per cui $(ab,bar{0}) in T$.
Per quanto visto $T$ è un sottoanello unitario di $A$ invece per la verifica se $T$ è un ideale di $A$,considero
$(x,bar{y}) in A,(e,bar{1}) in S$ risulta
$(x,bar{y})*(e,bar{0})=(xe,bar{0}) in T$, $(e,bar{0})*(x,bar{y})=(ex,bar{0}) in T$,quindi $T$ è un ideale di $A$.
$T$ campo, infatti, per quanto detto in precedenza, la coppia $(a, bar{0})$ ammette inverso $(a^(-1),bar{0})$, inoltre l'essere $T$ campo implica che $T$ è un dominio d'integrità.
La caratteristica di $T$ è $c=0.$
$forall b in ZZ \ to \ (0,bar{b}) in V$ quindi $V ne emptyset,$ in tal caso considero $(0,bar{a}), (0,bar{b}) in V$ risulta
$(0,bar{a})-(0,bar{b})=(0,bar{a-b})$ con $a-b in ZZ,$
$(0,bar{a})*(0,bar{b})=(0,bar{ab})$ con $ab in ZZ.$
quindi $V$ è un sottoanello e la coppia $(0,bar{1})$ è elemento neutro in $V$ infatti $(0,bar{1})(0,bar{x})=(0,bar{x})$ per cui $V$ è un sottoanello unitario.
Quindi per verificare se $V$ è un ideale di $A$ considero $(a,bar{x}) in A$ $(0,bar{y}) in V$ risulta
$(a,bar{x})*(0,bar{y})=(0,bar{xy}) in V$, $(0,bar{y})*(a,bar{x})=(0,bar{yx}) in V.$
Pertanto $V$ è un ideale di $A$
La coppia di $V$ $(0,bar{4})$ non ha inverso infatti per ogni coppia di $V$, $(0,bar{c})$ risulta
$(0,bar{4})*(0,bar{c})ne(0,bar{1})$ e non è nemmeno un dominio d'integrità infatti la coppia $(0,bar{8})ne(0,bar{0})$ inoltre $(0,bar{c})$ si ha $(0,bar{8})*(0,bar{c})=(0,bar{0})$ pertanto la coppia $(0,bar{8})$ è un divisore dello zero quindi $V$ non è un dominio d'integrità.
Infine la caratteristica di $V$ è $c=8$ infatti $8*(0,bar{1})=(0,bar{0})$.
Vi chiedo se ho svolto correttamente i suddetti punti.
Ciao
Risposte
Il primo punto va bene.
Secondo punto: seguendo le tue notazioni, \(\displaystyle\overline{8p}=\overline{0}\)... quindi quelli non sono i divisori dello \(\displaystyle0\)
Secondo punto: seguendo le tue notazioni, \(\displaystyle\overline{8p}=\overline{0}\)... quindi quelli non sono i divisori dello \(\displaystyle0\)
Ciao, forse ho capito...dovrebbero essere le coppie $(0,bar{2}),(0,bar{4}),(0,bar{6})$
Cosi?
Cosi?
Esatto!
Scusa il ritardo...
Scusa il ritardo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo