Esercizi vari Algebra 1
Spero che quello che sto per fare sia tollerato, ho provato a fare qualche esercizio dai vecchi temi di esame di Algebra 1, sarei veramente grato se poteste dirmi dove ho sbagliato, perchè davvero non so se siano corretti:
1- Sia $n>=3$ e $G_n$ grafo con $n$ vertici $v_1,...,v_n$ in cui sono adiacenti i vertici $v_i$ e $v_i+1$ per $i = 1,2,...,n-1$ e sono adiacenti i vertici $v1$ e $v_i$ per $i = 2,3,...,n$ .
$(a)$ Quanti lati ha il grafo $G_n?$
$(b)$ $G_n$ ha un cammino euleriano sse $n=$ ?
$(c)$ $G_n$ ha un circuito euleriano sse $n=$ ?
2 - In $NN$ si considerino gli ordinamenti parziali $<=$ e $|$ (divide) . In $NNxNN$ si consideri l'ordine parziale $-<$ definito $AA (a,b) , (a',b') in NNxNN$ da $(a,b)-<(a',b')$ se $a<=a'$ e $b|b'$ .
$(a)$ determinare, se esiste, il minimo di $NNxNN$.
$(b)$ determinare, se esistono, gli el. massimali di $NNxNN$
$(c)$ determinare, se esiste, l'estremo inferiore di $NNx{0}$ in $NNxNN$
3- Sia $G$ un gruppo, $G=RRxRR* = {(a,b) | a,b in RR , b!=0}$ con l'op. di $G$ definita da $(a,b)(a',b') = (a+ba',bb')$
$(a)$ determinare l'inverso in $G$ di $(a,b) in G$
$(b) H=RRx{1} = {(\alpha,1) | \alpha in RR}$ . E' vero che $hg = gh AAg in G, h in H$ ?
$(c)$ è vero che $H$ è sottogruppo normale di $G$?
4- $G$ gruppo ed $e:G \to G$ omomorfismo di gruppi idempotente, cioè t.c. $e^2 = e$. Siano $ker$ e $im$ nucleo e immagine di $e$. Dimostrare che:
$(a) ker(e) nn im(e) = {1_G}$
$(b)$ ogni el. di $G$ si scrive come $ki$ con $k in ker(e)$ e $i in im(e)$.
$(c)$ che tale forma di scrittura è unica, cioè che se $ki = k'i' => k=k' , i=i'$
(Queste cose non le abbiamo ancora fatte in algebra, ho fatto l'esercizio con quello che ho acquisito nel corso di Geometria)
Un grazie a chi avrà voglia di guardare se sono giusti (non sono sicuro di niente purtroppo)
( in 3 non capisco il motivo ma latex mi scrive bb' con un segno strano, quindi quel segno sappiate che è bb' )
1- Sia $n>=3$ e $G_n$ grafo con $n$ vertici $v_1,...,v_n$ in cui sono adiacenti i vertici $v_i$ e $v_i+1$ per $i = 1,2,...,n-1$ e sono adiacenti i vertici $v1$ e $v_i$ per $i = 2,3,...,n$ .
$(a)$ Quanti lati ha il grafo $G_n?$
$(b)$ $G_n$ ha un cammino euleriano sse $n=$ ?
$(c)$ $G_n$ ha un circuito euleriano sse $n=$ ?
2 - In $NN$ si considerino gli ordinamenti parziali $<=$ e $|$ (divide) . In $NNxNN$ si consideri l'ordine parziale $-<$ definito $AA (a,b) , (a',b') in NNxNN$ da $(a,b)-<(a',b')$ se $a<=a'$ e $b|b'$ .
$(a)$ determinare, se esiste, il minimo di $NNxNN$.
$(b)$ determinare, se esistono, gli el. massimali di $NNxNN$
$(c)$ determinare, se esiste, l'estremo inferiore di $NNx{0}$ in $NNxNN$
3- Sia $G$ un gruppo, $G=RRxRR* = {(a,b) | a,b in RR , b!=0}$ con l'op. di $G$ definita da $(a,b)(a',b') = (a+ba',bb')$
$(a)$ determinare l'inverso in $G$ di $(a,b) in G$
$(b) H=RRx{1} = {(\alpha,1) | \alpha in RR}$ . E' vero che $hg = gh AAg in G, h in H$ ?
$(c)$ è vero che $H$ è sottogruppo normale di $G$?
4- $G$ gruppo ed $e:G \to G$ omomorfismo di gruppi idempotente, cioè t.c. $e^2 = e$. Siano $ker$ e $im$ nucleo e immagine di $e$. Dimostrare che:
$(a) ker(e) nn im(e) = {1_G}$
$(b)$ ogni el. di $G$ si scrive come $ki$ con $k in ker(e)$ e $i in im(e)$.
$(c)$ che tale forma di scrittura è unica, cioè che se $ki = k'i' => k=k' , i=i'$
(Queste cose non le abbiamo ancora fatte in algebra, ho fatto l'esercizio con quello che ho acquisito nel corso di Geometria)
Un grazie a chi avrà voglia di guardare se sono giusti (non sono sicuro di niente purtroppo)
( in 3 non capisco il motivo ma latex mi scrive bb' con un segno strano, quindi quel segno sappiate che è bb' )
Risposte
Up, se non avete voglia di guardarli tutti bastano 3 e 4 (soprattutto 4)
Ho dato un'occhiata veloce al $4$: non capisco la tua dimostrazione... affermi che l'immagine di $e$ sia il sottogruppo banale ma questo è falso. L'identità $id: G \to G$ è un omomorfismo idempotente eppure la sua immagine è tutto $G$. L'errore precisamente sta nell'applicare $e^(-1)$: nessuno ti dice che $e^-1$ esista o sia ben definita, l'omomorfismo potrebbe benissimo essere non iniettivo, considera $f: \mathbb{Z_6} \to \mathbb{Z_6}$ che manda $1 \to 3$, allora $f$ è idempotente(ad occhio lo è, verificalo) eppure non è iniettivo e quindi non ammette inversa. Inoltre non ha senso scrivere $e^-1 e = 1_G$ se con $1_G$ intendi l'elemento neutro del gruppo, al più, se $e$ ammette inversa, si ha che $e^-1 e = Id_G$ dove $Id_G$ è l'identità $Id_G(g) = g \forall g \in G$. Pensa ad una nuova dimostrazione.
Sono passati due giorni, hai pensato ad una nuova dimostrazione per il $4$?
Forse così:
$1_G in ker(e)$ poichè $e(1_G) = 1_G$ (def di omomorfismo di gruppi) e $1_G in im(e)$ poichè $EE g in G$ t.c. $e(g) = 1_G$ .
Se $g in ker(e) => e(g) = 1_G => e(e(g)) = 1_G => e(g) in ker(e)$ e $e(g) = 1_G$. Sappiamo che $e(g) in im(e)$ quindi $ker(e) nn im(e) = {1_G}$ . Può andare?
(Il tema mobile da qualche problema, se sei da cellulare prova a mettere il tema desktop)
$1_G in ker(e)$ poichè $e(1_G) = 1_G$ (def di omomorfismo di gruppi) e $1_G in im(e)$ poichè $EE g in G$ t.c. $e(g) = 1_G$ .
Se $g in ker(e) => e(g) = 1_G => e(e(g)) = 1_G => e(g) in ker(e)$ e $e(g) = 1_G$. Sappiamo che $e(g) in im(e)$ quindi $ker(e) nn im(e) = {1_G}$ . Può andare?
(Il tema mobile da qualche problema, se sei da cellulare prova a mettere il tema desktop)
"anti-spells":
Forse così:
$1_G in ker(e)$ poichè $e(1_G) = 1_G$ (def di omomorfismo di gruppi) e $1_G in im(e)$ poichè $EE g in G$ t.c. $e(g) = 1_G$ .
Se $g in ker(e) => e(g) = 1_G => e(e(g)) = 1_G => e(g) in ker(e)$ e $e(g) = 1_G$. Sappiamo che $e(g) in im(e)$ quindi $ker(e) nn im(e) = {1_G}$ . Può andare?
(Il tema mobile da qualche problema, se sei da cellulare prova a mettere il tema desktop)
Più o meno ci siamo, anche se devi migliorare lo stile perché è un po' confusionario...
Comunque per chiarezza posto anche la mia soluzione al primo punto: la tesi è equivalente a prendere $g \in Ker(e) \cap Im(e)$ e mostrare che $g = 1_G$. Più precisamente poiché $g \in Ker(e) \cap Im(e)$ sai che $e(g) = 1_{G}$ perché $g \in Ker(e)$ e sai che esiste almeno un $g' \in G$ tale che $e(g') = g$ perché $g \in Im(e)$. Dunque $g = e(g') => e(g) = e(e(g')) = 1_{G}$ ma per ipotesti $e^2(g') = e(g')$, da cui $g = e(g') = e^2(g') = e(g) = 1_{G}$ e quindi $g = 1_{G}$ che è la tesi.
Prova a fare gli altri due punti, forza.