Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)
Ciao,
sto studiando per l'esame di Algebra 2 (uno degli ultimi). Tratta della Teoria degli Anelli e dei Campi.
Sto facendo un casino di esercizi, ma non ho modo di confrontarmi con i colleghi ne tanto meno con il prof. Pertanto chiedo qui aiuto nel capire più che altro se ciò che faccio va bene.
Uno dei primi dubbi sta su questo genere di richieste.
Esercizio
Sia $f \in Q$ definito ponendo $f(x) = 4x^4 + x^2 - 3x + 1$. Sia inoltre $J = (f)$.
1) Determinare se $Q[x]$$ / J$ è un campo.
2) Determinare, se esiste, l'inverso di $x + J \in Q[x]$ $/J$
Questa è la mia soluzione:
proof
1) Affermo che $Q[x]$ $ / J$ non è un campo. Infatti per una caratterizzazione è noto che $Q[x]$ $ / J$ Campo se e solo se $J$ ideale massimale se e solo se $f(x)$ irriducibile.
Infatti $f(x)$ non è irriducibile su $Q$, in quanto si può scomporre almeno nel seguente modo: $f(x) = (x-1/2) * g(x)$, con $g(x) \in Q[x]$ e $deg(g) = 3$.
** ometto il modo col quale ho trovato la radice.
2) Qui sorge il dubbio (più che altro per giustificare ciò che faccio).
--Parentesi
In altri esercizi, simili, è capitato che il quoziente sia stato un Campo. Li senza dubbio affermo che esiste l'inverso (moltiplicativo) di qualsiasi elemento (non nullo), e quindi l'inverso del laterale richiesto in particolare.
Non so in questo caso come giustificare.
Posso dire semplicemente che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, con l'Algoritmo di divisione Euclidea e con Bezout ricavo l'inverso?
--Parentesi
Osservo che $x + J \ne J$. Infatti $deg(x) < deg (f)$.
Affermo che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, ovvero $\exists a,b \in Q[x] t.c.$ $ax + bf = 1$, ovvero isolando "ax" e passando alle classi laterali, si ha
$(a + J) (x+ J) = (1 + J) + (-bf + J)$ ovvero
$(a + J) (x+ J) = (1 + J)$
Dall'Algoritmo della divisione Euclidea (ometto i calcoli) ricavo che
$f = (x^3 + x - 3) * x + 1$, ovvero
$1 = f - x * (x^3 + x -3)$ e quindi
$(x^3 + x - 3) + J$ è l'inverso cercato.
Ricapitolo il dubbio: se viene fuori che il quoziente è un campo l'inverso esiste e lo trovo (spero il procedimento, almeno in tal caso sia esatto). Se invece il quoziente non è un campo? Secondo me non riesco a giustificare l'esistenza. Ma il calcolo si fa così?
Grazie
sto studiando per l'esame di Algebra 2 (uno degli ultimi). Tratta della Teoria degli Anelli e dei Campi.
Sto facendo un casino di esercizi, ma non ho modo di confrontarmi con i colleghi ne tanto meno con il prof. Pertanto chiedo qui aiuto nel capire più che altro se ciò che faccio va bene.
Uno dei primi dubbi sta su questo genere di richieste.
Esercizio
Sia $f \in Q$ definito ponendo $f(x) = 4x^4 + x^2 - 3x + 1$. Sia inoltre $J = (f)$.
1) Determinare se $Q[x]$$ / J$ è un campo.
2) Determinare, se esiste, l'inverso di $x + J \in Q[x]$ $/J$
Questa è la mia soluzione:
proof
1) Affermo che $Q[x]$ $ / J$ non è un campo. Infatti per una caratterizzazione è noto che $Q[x]$ $ / J$ Campo se e solo se $J$ ideale massimale se e solo se $f(x)$ irriducibile.
Infatti $f(x)$ non è irriducibile su $Q$, in quanto si può scomporre almeno nel seguente modo: $f(x) = (x-1/2) * g(x)$, con $g(x) \in Q[x]$ e $deg(g) = 3$.
** ometto il modo col quale ho trovato la radice.
2) Qui sorge il dubbio (più che altro per giustificare ciò che faccio).
--Parentesi
In altri esercizi, simili, è capitato che il quoziente sia stato un Campo. Li senza dubbio affermo che esiste l'inverso (moltiplicativo) di qualsiasi elemento (non nullo), e quindi l'inverso del laterale richiesto in particolare.
Non so in questo caso come giustificare.
Posso dire semplicemente che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, con l'Algoritmo di divisione Euclidea e con Bezout ricavo l'inverso?
--Parentesi
Osservo che $x + J \ne J$. Infatti $deg(x) < deg (f)$.
Affermo che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, ovvero $\exists a,b \in Q[x] t.c.$ $ax + bf = 1$, ovvero isolando "ax" e passando alle classi laterali, si ha
$(a + J) (x+ J) = (1 + J) + (-bf + J)$ ovvero
$(a + J) (x+ J) = (1 + J)$
Dall'Algoritmo della divisione Euclidea (ometto i calcoli) ricavo che
$f = (x^3 + x - 3) * x + 1$, ovvero
$1 = f - x * (x^3 + x -3)$ e quindi
$(x^3 + x - 3) + J$ è l'inverso cercato.
Ricapitolo il dubbio: se viene fuori che il quoziente è un campo l'inverso esiste e lo trovo (spero il procedimento, almeno in tal caso sia esatto). Se invece il quoziente non è un campo? Secondo me non riesco a giustificare l'esistenza. Ma il calcolo si fa così?
Grazie
Risposte
Una modalità down on Earth per dimostrare che \(\displaystyle J=(f)=(4x^4+x^2-3x+1)\) non è massimale, è la seguente:
\[
J\subsetneqq(4x^4+x^2-3x+1,x^2)=(-3x+1).
\]
Dato che qui a Udine c'è un caldo afoso e umido, non vorrei aver scritto scemenze... e sono curioso di sapere come tu abbia trovato che \(\displaystyle\frac{1}{2}\) è una radice di \(\displaystyle f(x)\)
EDIT: grazie a jinsang ed a caulacau per avermi segnalato un errore nel ragionamento.
\[
J\subsetneqq(4x^4+x^2-3x+1,x^2)=(-3x+1).
\]
Dato che qui a Udine c'è un caldo afoso e umido, non vorrei aver scritto scemenze... e sono curioso di sapere come tu abbia trovato che \(\displaystyle\frac{1}{2}\) è una radice di \(\displaystyle f(x)\)
EDIT: grazie a jinsang ed a caulacau per avermi segnalato un errore nel ragionamento.
"j18eos":
sono curioso di sapere come tu abbia trovato che \( \displaystyle\frac{1}{2} \) è una radice di \( \displaystyle f(x) \)
Scusa,
dato che siamo su un Campo, se il polinomio non è irriducibile, ovvero si scompone in qualche modo, ci sono 2 possibilità (poiché $deg(f) = 4$:
1) $f = gh$ con $deg(g) = deg(h) = 2$, e non è il caso che ho considerato
2) $f = gh$ con $deg(g) = 1 e deg(h) = 3$. Seguo questo caso.
se faccio i calcoli $f(1/2) = 4 * (2^4) + 1 / 4 - 3/2 +1 = 0$
quindi $f$ si scompone come $f = (x- 1/2) * g$, con $g$ opportuno polinomio.
Comunque, riusciresti a dirmi se l'inverso l'ho trovato giusto e come comportarmi se non sono in presenza di un Campo?
Praticamente \(\displaystyle\frac{1}{2}\) l'hai trovato di c**o?
L'inverso che hai trovato è corretto, ma avrei qualcosa da scriverti... A domani.
L'inverso che hai trovato è corretto, ma avrei qualcosa da scriverti... A domani.
Ma come di c**o?!..
Se non mi sbaglio in $Q[x]$ se $u / v$ è radice del polinomio allora necessariamente $u|a0$ e $v|an$. Per quanto detto l'insieme delle possibili radici del polinomio è da ricercare nell'insieme ${\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4}$
Ecco come ho fatto
Se non mi sbaglio in $Q[x]$ se $u / v$ è radice del polinomio allora necessariamente $u|a0$ e $v|an$. Per quanto detto l'insieme delle possibili radici del polinomio è da ricercare nell'insieme ${\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4}$
Ecco come ho fatto
Help me please
Mi potete dire come giustifico l'esistenza dell'ìnverso dato che non è un campo?
Secondo me il tuo svolgimento AAnto è corretto.
L'esistenza dell'inverso è garantita dal fatto che $(x,4x^4+x^2-3x+1)=1$ e la costruzione dell'inverso è data dall'algoritmo di Euclide.
In ogni caso un elemento $f$ di un anello è invertibile sse esiste un inverso, quindi se riesci ad esibire un $g$ tche $fg(=gf)=1$ hai dimostrato che quell'elemento è invertibile. Come hai trovato l'inverso sono affari tuoi
Invece non mi torna l'ultima catena di contenimenti di j18eos.
$(2x^2+1,x,x+1)$ è tutto l'anello (è facile ricavare $1=x+1-x$) e quindi non è contenuto in nessun ideale proprio, e non si riesce a dedurre che $(f)$ non è massimale.
L'esistenza dell'inverso è garantita dal fatto che $(x,4x^4+x^2-3x+1)=1$ e la costruzione dell'inverso è data dall'algoritmo di Euclide.
In ogni caso un elemento $f$ di un anello è invertibile sse esiste un inverso, quindi se riesci ad esibire un $g$ tche $fg(=gf)=1$ hai dimostrato che quell'elemento è invertibile. Come hai trovato l'inverso sono affari tuoi
Invece non mi torna l'ultima catena di contenimenti di j18eos.
$(2x^2+1,x,x+1)$ è tutto l'anello (è facile ricavare $1=x+1-x$) e quindi non è contenuto in nessun ideale proprio, e non si riesce a dedurre che $(f)$ non è massimale.
"AAnto":
Mi potete dire come giustifico l'esistenza dell'ìnverso dato che non è un campo?
Se mcd(u,v) è 1, allora $u$ è invertibile modulo $(v)$.
"j18eos":
\[
4x^4+x^2-3x+1=4x^4+4x^2+1-3x^2-3x=(2x^2+1)^2-3x(x+1)\in(2x^2+1,x,x+1)\Rightarrow\\
\Rightarrow J\subseteq(2x^2+1,x,x+1)\textcolor{red}{\subsetneqq}(2x^2+1),(x),(x+1).
\]
Anche io ho caldo, ma mi sembra che se $S \subseteq T$ sono due insiemi l'ideale generato da $S$ sia contenuto nell'ideale generato da $T$, sicché l'inclusione in rosso è semmai rovesciata. In effetti mi sembra che qualsiasi ideale contenga $(x)$ e qualcosa di coprimo con $x$ sia tutto l'anello: è il caldo o è vero?
Grazie a tutti per le risposte.
Quindi al punto 2 dell'esercizio posso iniziare così.
Affermo che esiste l'inverso di $x + J$, poiché $(x,f) = 1$.
Poi glielo ricavo.. ed è fatto...
giusto? Quindi sta tutto bene?
Quindi al punto 2 dell'esercizio posso iniziare così.
Affermo che esiste l'inverso di $x + J$, poiché $(x,f) = 1$.
Poi glielo ricavo.. ed è fatto...
giusto? Quindi sta tutto bene?
Quindi al punto 2 dell'esercizio posso iniziare così.
Affermo che esiste l'inverso di x+J, poiché (x,f)=1.
Poi glielo ricavo.. ed è fatto...
giusto? Quindi sta tutto bene?
Sì secondo me va benissimo.
Tra l'altro in questo caso è facile vedere che $f=x(4x^3+x-3)+1$ e quindi $-(4x^3+x-3)x=1-f$
quindi $-(4x^3+x-3)x=1 (mod f)$ e quindi il tuo inverso è $-4x^3-x+3$
senza usare esplicitamente Euclide.
In effetti quell'ultima inclusione è errata; ora la aggiusto.
Quello che volevo dire, lo ha già scritto jinsang
Quello che volevo dire, lo ha già scritto jinsang
Scusami j18eos se rompo le scatole, ma continua a non tornarmi 
Tu dici:
A me viene di nuovo $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=Q[x]$
Infatti $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=(-3x+1,x^2)=(-3x+1,3x^2+x(-3x+1))=(-3x+1,x)=(1)$.
Secondo me, essendo che $Q[x]$ è PID, l'unico modo per trovare un ideale $I=(g)$ tche $J=(f)⫋I=(g)⫋Q[x]$ è trovare un fattore non banale di $f$.
(Infatti si deve avere $g|f$)
E quindi io avrei tentato (come ha fatto AAnto) di trovare una radice del polinomio, o comunque avrei cercato una fattorizzazione, oppure avrei provato a dimostrare che tale polinomio è irriducibile nel caso i tentativi precedenti non fossero andati in porto (cosa che non è).
Magari mi sbaglio ehh, credo che j18eos abbia più esperienza di me
Tu dici:
$J⫋(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=(−3x+1)$
A me viene di nuovo $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=Q[x]$
Infatti $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=(-3x+1,x^2)=(-3x+1,3x^2+x(-3x+1))=(-3x+1,x)=(1)$.
Secondo me, essendo che $Q[x]$ è PID, l'unico modo per trovare un ideale $I=(g)$ tche $J=(f)⫋I=(g)⫋Q[x]$ è trovare un fattore non banale di $f$.
(Infatti si deve avere $g|f$)
E quindi io avrei tentato (come ha fatto AAnto) di trovare una radice del polinomio, o comunque avrei cercato una fattorizzazione, oppure avrei provato a dimostrare che tale polinomio è irriducibile nel caso i tentativi precedenti non fossero andati in porto (cosa che non è).
Magari mi sbaglio ehh, credo che j18eos abbia più esperienza di me
Tranquill*, hai perfettamente ragione: \(\displaystyle x^2\) ed \(\displaystyle f\) (sono di corsa, NdA) sono coprimi, per cui per il teorema di Bézout (e per l'aria condizionata della palestra, NdA) ho scritto un'altra scemenza...
Comunque: la tecnica di trovare un ideale (massimale) che contenga propriamente \(\displaystyle J\) è valida, il fastidio è trovare questo ideale; nel caso di \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un po' tosta la questione, poiché questi è un anello con dimensione di Krull \(\displaystyle1\), ovvero le catene di ideali primi sono lunghe al più \(\displaystyle 1\)!
EDIT: essendo \(\displaystyle\mathbb{Q}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un anello euclideo, per cui un P.I.D. e un anello fattoriale; l'unica maniera per trovare un ideale massima le che contenga \(\displaystyle J\), è trovare un divisore non banale di \(\displaystyle f\)... per cui non c'è scampo
Peccato: non voglio vedere il teorema del Resto di Ruffini per un bel po'!!!
Comunque: la tecnica di trovare un ideale (massimale) che contenga propriamente \(\displaystyle J\) è valida, il fastidio è trovare questo ideale; nel caso di \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un po' tosta la questione, poiché questi è un anello con dimensione di Krull \(\displaystyle1\), ovvero le catene di ideali primi sono lunghe al più \(\displaystyle 1\)!
EDIT: essendo \(\displaystyle\mathbb{Q}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un anello euclideo, per cui un P.I.D. e un anello fattoriale; l'unica maniera per trovare un ideale massima le che contenga \(\displaystyle J\), è trovare un divisore non banale di \(\displaystyle f\)... per cui non c'è scampo
Peccato: non voglio vedere il teorema del Resto di Ruffini per un bel po'!!!
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