Esercizi sulle relazioni

[Aceking]

Salve, ho un problema con alcuni esercizi sulle relazioni. Ho aperto questa discussione per ricevere degli indizi.

Problema: Siano R e S relazioni binarie transitive su un insieme X. Per le seguenti affermazioni, trovare una dimostrazione per quelle vere ed un controesempio per quelle false.

R unito S è una relazione transitiva. Il mio ragionamento è questo:
Devo dimostrare che se (a,b) e (b,c) appartengono a R unito S, allora anche (a,c) appartiene a R unito S. Si hanno più casi:

1) (a,b) e (b,c) appartengono a R. Allora anche (a,c) appartiene a R ( R è transitiva ) quindi (a,c) appartiene anche a R unito S. OK!
2) (a,b) e (b,c) appartengono a S. Allora anche (a,c) appartiene a S ( S è transitiva ) quindi (a,c) appartiene anche a R unito S. OK!
3) (a,b) appartiene a R e (b,c) appartiene a S. Dato che (b,c) non appartiene a R, in R non troveremo (a,c). Dato che (a,b) non appartiene a S, in S non troveremo (a,c). Quindi (a,c) non appartiene a R unito S. R unito S non è transitiva.

Il problema è che non trovo un controesempio...è errata la dimostrazione o pecco di fantasia?

Grazie a chi mi aiuterà.
Saluti

[Studente Anonimo]

Prova con [tex]X = \{1,2\}[/tex], [tex]R = \{(1,2)\}[/tex], [tex]S = \{(2,1)\}[/tex].

[Aceking]

Perfetto, grazie mille! Chiedo di lasciare aperta la discussione, ne ho molti di esercizi sulle relazioni, potrei averne bisogno