Esercizi sul calcolo combinatorio: quale approccio seguire?
Salve, mi sto preparando per un esame di Matematica Discreta e tra tutti gli argomenti quello del calcolo combinatorio è quello che più mi turba: gli esercizi tipici non sono di carattere "meccanico" come esercizi sui sistemi lineari nè intuitivi come quelli sul principio d'induzione. Non ho modo di verificare se ho svolto correttamente un esercizio, e questo mi lascia appeso col dubbio "forse dovevo usare le disposizioni anzichè le combinazioni..."
Tra i materiali offerti dal prof vi sono 2 esercizi sul calcolo combinatorio, che ho svolto (o vorrei svolgere) nel modo seguente:
Esercizio 1
1.1 Si motivino adeguatamente tutte le risposte
Quanti sono i numeri naturali che ammettono rappresentazione in base 8 costituita da sei cifre?
Siccome ho 7 possibilità per la cifra più significativa (non deve essere 0) e 8 possibilità per le restanti 5 cifre, basta fare $ 7*8^5 = 229376 $
1.2 Quanti sono i numeri naturali che ammettono rappresentazione in base 8 costituita da sei cifre tutte distinte?
Ignoro la cifra più significativa per ora, dato che questa deve essere diversa da 0
Le possibili combinazioni di cifre ottali in 5 posti sono $ c_{7,5} $.
Queste cifre le posso permutare in $ 5! $ modi
La cifra più significativa può assumere valore da 1 a 7, quindi ho 7 possibilità.
Moltiplichiamo il tutto: $ 7 * 5! * c_{7,5} = 7*5!*\frac{7!}{5!2!} = 7*\frac{7!}{2!} = 17640 $
1.3 Quanti sono i numeri naturali che ammettono in base 8 rappresentazione di sei cifre in cui compare una volta la cifra 1, due volte la cifra 2 e tre volte la cifra 3?
Ho 6 cifre già scelte, devo solo permutare: $\frac{6!}{1! * 2! * 3!} = 90 $
1.4 Quanti sono i numeri naturali che ammettono in base 8 rappresentazione di sei cifre in cui compare due volte la cifra 0?
Ignoro la cifra più significativa per ora, dato che questa deve essere diversa da 0.
Faccio girare i 2 zeri attraverso le 5 caselle usando le permutazioni: $\frac{5!}{3!2!}$
Dispongo le cifre da 1 a 7 nelle restanti 3 caselle usando le disposizioni: $7^3$
La cifra più significativa può assumere un valore da 1 a 7, quindi ho 7 possibilità
Moltiplico il tutto: $7^4 * \frac{5!}{3!2!} = 24010$
Esercizio 2
In un sacchetto ci sono 4 palline bianche e 1 pallina rossa. Estraendo in maniera casuale 3 palline dal sacchetto, è più probabile che queste siano tutte bianche o che tra esse ci sia la pallina rossa? Motivare adeguatamente la risposta
Siccome qui l'ordine non è rilevante, suppongo si debbano usare le combinazioni.
Dato un insieme di ordine 5 (il sacchetto delle palline), il numero di possibili sottoinsiemi di ordine 3 (le palline estratte) è dato da $c_{5,3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 $
Da qui in poi sono bloccato, non ho idea di come continuare. Come posso contare quali sono le combinazioni con la pallina rossa e quali quelle con 3 palline bianche?
Il primo esercizio non mi convince molto, penso di aver sbagliato approccio. Per il secondo esercizio invece non ho la minima idea di come continuare. Come dovrei fare? Grazie in anticipo.
Tra i materiali offerti dal prof vi sono 2 esercizi sul calcolo combinatorio, che ho svolto (o vorrei svolgere) nel modo seguente:
Esercizio 1
1.1 Si motivino adeguatamente tutte le risposte
Quanti sono i numeri naturali che ammettono rappresentazione in base 8 costituita da sei cifre?
Siccome ho 7 possibilità per la cifra più significativa (non deve essere 0) e 8 possibilità per le restanti 5 cifre, basta fare $ 7*8^5 = 229376 $
1.2 Quanti sono i numeri naturali che ammettono rappresentazione in base 8 costituita da sei cifre tutte distinte?
Ignoro la cifra più significativa per ora, dato che questa deve essere diversa da 0
Le possibili combinazioni di cifre ottali in 5 posti sono $ c_{7,5} $.
Queste cifre le posso permutare in $ 5! $ modi
La cifra più significativa può assumere valore da 1 a 7, quindi ho 7 possibilità.
Moltiplichiamo il tutto: $ 7 * 5! * c_{7,5} = 7*5!*\frac{7!}{5!2!} = 7*\frac{7!}{2!} = 17640 $
1.3 Quanti sono i numeri naturali che ammettono in base 8 rappresentazione di sei cifre in cui compare una volta la cifra 1, due volte la cifra 2 e tre volte la cifra 3?
Ho 6 cifre già scelte, devo solo permutare: $\frac{6!}{1! * 2! * 3!} = 90 $
1.4 Quanti sono i numeri naturali che ammettono in base 8 rappresentazione di sei cifre in cui compare due volte la cifra 0?
Ignoro la cifra più significativa per ora, dato che questa deve essere diversa da 0.
Faccio girare i 2 zeri attraverso le 5 caselle usando le permutazioni: $\frac{5!}{3!2!}$
Dispongo le cifre da 1 a 7 nelle restanti 3 caselle usando le disposizioni: $7^3$
La cifra più significativa può assumere un valore da 1 a 7, quindi ho 7 possibilità
Moltiplico il tutto: $7^4 * \frac{5!}{3!2!} = 24010$
Esercizio 2
In un sacchetto ci sono 4 palline bianche e 1 pallina rossa. Estraendo in maniera casuale 3 palline dal sacchetto, è più probabile che queste siano tutte bianche o che tra esse ci sia la pallina rossa? Motivare adeguatamente la risposta
Siccome qui l'ordine non è rilevante, suppongo si debbano usare le combinazioni.
Dato un insieme di ordine 5 (il sacchetto delle palline), il numero di possibili sottoinsiemi di ordine 3 (le palline estratte) è dato da $c_{5,3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 $
Da qui in poi sono bloccato, non ho idea di come continuare. Come posso contare quali sono le combinazioni con la pallina rossa e quali quelle con 3 palline bianche?
Il primo esercizio non mi convince molto, penso di aver sbagliato approccio. Per il secondo esercizio invece non ho la minima idea di come continuare. Come dovrei fare? Grazie in anticipo.
Risposte
Il 1° esercizio va bene, tranne il punto 1.3 il cui risultato è $60$
Per il secondo, $10$ sono le terzine possibili.
Di queste:
$C_(4,3)=4$ sono quelle con 3 bianche
$C_(4,2)=6$ sono quelle con 2 bianche ed una rossa.
Per il secondo, $10$ sono le terzine possibili.
Di queste:
$C_(4,3)=4$ sono quelle con 3 bianche
$C_(4,2)=6$ sono quelle con 2 bianche ed una rossa.
Oops, piccolo errore di calcolo. Mi fa piacere sapere che lo svolgimento è giusto 
Grazie mille per la delucidazione
Grazie mille per la delucidazione
Ciao Sergio.
Sono contento di ritrovarti dopo svariati anni.
Però stavolta hai toppato.
Se le cifre disponibili sono 8, ed una è assegnata al primo posto, per gli altri 5 posti, di cifre disponibili ne rimangono solo 7.
$7*D_(7,5)=17.640$
In effetti Cidra si è un po' complicato la vita, ma il risultato è quello....
Sono contento di ritrovarti dopo svariati anni.
Però stavolta hai toppato.
Se le cifre disponibili sono 8, ed una è assegnata al primo posto, per gli altri 5 posti, di cifre disponibili ne rimangono solo 7.
$7*D_(7,5)=17.640$
In effetti Cidra si è un po' complicato la vita, ma il risultato è quello....
"superpippone":
Ciao Sergio.
Sono contento di ritrovarti dopo svariati anni.
Però stavolta hai toppato.
Se le cifre disponibili sono 8, ed una è assegnata al primo posto, per gli altri 5 posti, di cifre disponibili ne rimangono solo 7.
$7*D_(7,5)=17.640$
In effetti Cidra si è un po' complicato la vita, ma il risultato è quello....
Eh si, mi sono accorto solamente da poco che effettivamente moltiplicare combinazioni semplici di n elementi di classe k e permutazioni semplici di k elementi dà come risultato le disposizioni semplici di n elementi di classe k:
\(\displaystyle c_{n,k} * p_k = d_{n,k} \)
Infatti
\(\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}*k! = \frac{n!}{(n-k)!} \)
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