Esercizi sui gruppi

[Never2]

Ciao a tutti, sto avendo problemi a risolvere esercizi sui gruppi, come ad esempio questi due. Provo a verificare le varie proprietà dei gruppi, ma non so se riesco bene a farlo perchè mi sembra che molte cose non portino a niente. Qualcuno sa dirmi in che modo vanno svolti esercizi come questi, che cosa devo fare di preciso? Grazie infinite

Nell'insieme $QQ$ è definita l'operazione * ponendo

$x$*$y$ = $2x+y$

si stabilisca se
A) ( $QQ$ , *) è un gruppo abeliano
B) ( $QQ$ , *) non possiede elemento neutro
C) ( $QQ$ , *) è un gruppo non abeliano
D) * è associativa




Stabilire se S = ${ ((a,b),(0,a))$ $ | a,b$ $in$ $ZZ$ $}$ con l'usuale addizione tra matrici
A) E' un gruppo abeliano
B) E' un gruppo non abeliano
C) Non ha elemento neutro
D) Non è chiuso rispetto all'addizione

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]

[francicko]

Ciao, cerco di dare una risposta almeno alla prima parte del tuo quesito, non vorrei sbagliarmi, ma l'operazione così definita in $Q$ a me non risulta neanche
essere associativa, quindi non si può parlare di Gruppo, in quanto l'associativita è uno degli assiomi che lo caratterizza.
Ti espongo il calcolo che ho eseguito sperando di non essermi sbagliato:
Siano $x,y$e$z$, tre elementi generici di $Q$ risulta, $(x$*$y)$*$z=(2x+y)$*$z=2(2x+y)+z=4x+2y+z$ ed $x$*$(y$*$z)$ $=x$*$(2y+z)$ $=2x+2y+z$;
ma $4x+2y+z=2x+y+z$ cioé $4x=2x$ , in generale non è vera se $x!=0$, quindi questa strutura dotata dell'operazione suddetta non può essere un Gruppo.
Inoltre in generale non è una struttura commutativa in quanto $x$*$y=2x+y$ e $y$*$x=2y+x$ ma $2x+y=2y+x$ equivale ad $2x-2y=x-y$ cioè
$2(x-y)=x-y$ ma questa identità risulta vera se e solo se $x-y=0$ cioé per $x=y$;in generale se è $x!=y$ non è ver
Non é dotata nemmeno di un elemento neutro in quanto se $x$*$y=x$ implica$2x+y=x$ cioè deve essere $y=(-x)$

[Seneca1]

"Never":
Stabilire se S = ${ ((a,b),(0,a))$ $ | a,b$ $in$ $ZZ$ $}$ con l'usuale addizione tra matrici
A) E' un gruppo abeliano
B) E' un gruppo non abeliano
C) Non ha elemento neutro
D) Non è chiuso rispetto all'addizione

D) $((a,b),(0,a)) + ((a',b'),(0,a')) = ((a + a', b + b'),(0,a + a'))$

$a + a' in ZZ$ e $b + b' in ZZ$

Quindi $S$ è chiuso rispetto alla somma.

Sai procedere per dimostrare gli altri punti?

[Never2]

Allora ragazzi vi ringrazio innanzitutto delle risposte
@francicko : anche io sono arrivata allo stesso punto, non riesco a dimostrare la proprietà associativa, ma le opzioni sono quelle. Forse si potrebbe dire che verifica la proprietà associativa solo per $x=0$ ? Ma non credo abbia granchè senso, perchè a questo punto si potrebbe anche dire che verifica la proprietà commutativa per certi valori e non per altri, ma lì bisogna scegliere una sola opzione.

@Seneca: nell'addizione tra matrici sono normalmente verificate la proprietà associativa, l'esistenza del simmetrico, dell'elemento neutro e la proprietà commutativa, quindi posso tranquillamente dire che è un gruppo abeliano, no?;)