Esercizi sui gruppi
Mi sto cimentando sui due seguenti esercizi:
1) Se in un gruppo $G$ risulta $a^5=e$ e $aba^-1=b^2$ per $a,b in G$, trovare l'ordine di $b$
2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.
Per il primo si potrebbe notare che da $a^5=e$ segue $a^-1=a^4$ e quindi $aba^-1=b^2$ implica $aba^4=b^2$, ma pur provando con vari esponenti non riesco a raggiungere un risultato.
Per il secondo ho provato con $n=4$ e risulta abeliano, ma non riesco a generalizzare.
Potete suggerirmi qualche traccia valida? Grazie
1) Se in un gruppo $G$ risulta $a^5=e$ e $aba^-1=b^2$ per $a,b in G$, trovare l'ordine di $b$
2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.
Per il primo si potrebbe notare che da $a^5=e$ segue $a^-1=a^4$ e quindi $aba^-1=b^2$ implica $aba^4=b^2$, ma pur provando con vari esponenti non riesco a raggiungere un risultato.
Per il secondo ho provato con $n=4$ e risulta abeliano, ma non riesco a generalizzare.
Potete suggerirmi qualche traccia valida? Grazie
Risposte
Per il primo puoi notare che $b^4 = aba^{-1} * aba^{-1} = ab^2a^{-1} = a^2ba^{-2}$.
Allora si vede facilmente che $b^{2^5} = a^5ba^{-5} = b$ perciò l'ordine di $b$ è $31$.
Infine essendo $31$ un numero primo è necessariamente l'ordine dell'elemento e non un suo multiplo.
Allora si vede facilmente che $b^{2^5} = a^5ba^{-5} = b$ perciò l'ordine di $b$ è $31$.
Infine essendo $31$ un numero primo è necessariamente l'ordine dell'elemento e non un suo multiplo.
Per il secondo ho svolto qualche passaggio, non so se possono risultare utili.
$(ab)^3=a^3 b^3$, dunque $ababab=a^3 b^3$.
Moltiplicando a sinistra per $a^-1$ e a destra per $b^-1$ si ottiene $baba=a^2 b^2$.
Analogamente, da $(ba)^3=b^3 a^3$ si ha $abab=b^2 a^2$.
Dunque: $(ba)^2=a^2 b^2$ e $(ab)^2=b^2 a^2$
Si ottiene quindi $a^3 b^3=ab (ab)^2=ab b^2a^2$ e $a^3 b^3=(ab)^2 ab= b^2 a^2 ab$;
analogamente $b^3 a^3=ba (ba)^2=ba a^2b^2$ e $b^3 a^3=(ba)^2 ba= a^2 b^2 ba$.
$(ab)^3=a^3 b^3$, dunque $ababab=a^3 b^3$.
Moltiplicando a sinistra per $a^-1$ e a destra per $b^-1$ si ottiene $baba=a^2 b^2$.
Analogamente, da $(ba)^3=b^3 a^3$ si ha $abab=b^2 a^2$.
Dunque: $(ba)^2=a^2 b^2$ e $(ab)^2=b^2 a^2$
Si ottiene quindi $a^3 b^3=ab (ab)^2=ab b^2a^2$ e $a^3 b^3=(ab)^2 ab= b^2 a^2 ab$;
analogamente $b^3 a^3=ba (ba)^2=ba a^2b^2$ e $b^3 a^3=(ba)^2 ba= a^2 b^2 ba$.
Grazie per i suggerimenti.
Per il primo esercizio è tutto ok, mentre per il secondo non ci sono ancora.
Poichè $3$ non divide $n$ potrei scrivere $n=3q+r$ con $q in NN$ ed $r=1$ o $r=2$.
Poichè $n$ è l'ordine di $G$ si ha: $g^n=e AA g in G$.
In particolare: $(ab)^n=e$ quindi $ab=(ab)^-(n-1)$.
A questo punto discuterei separatamente i casi $r=1$ ed $r=2$.
Per $r=1$ avrei $ab=(ab)^-(3q)$ e per avere la tesi mi basterebbe provare che $ba=(ab)^-(3q)$ ma non so come poi procedere.
Altri consigli? Grazie
Per il primo esercizio è tutto ok, mentre per il secondo non ci sono ancora.
Poichè $3$ non divide $n$ potrei scrivere $n=3q+r$ con $q in NN$ ed $r=1$ o $r=2$.
Poichè $n$ è l'ordine di $G$ si ha: $g^n=e AA g in G$.
In particolare: $(ab)^n=e$ quindi $ab=(ab)^-(n-1)$.
A questo punto discuterei separatamente i casi $r=1$ ed $r=2$.
Per $r=1$ avrei $ab=(ab)^-(3q)$ e per avere la tesi mi basterebbe provare che $ba=(ab)^-(3q)$ ma non so come poi procedere.
Altri consigli? Grazie
Non ho ancora trovato la soluzione comunque io stavo pensando al fatto che se $(ab)^3 = a^3b^3$ e se $3$ non divide $n$ allora la funzione $f: x \mapsto x^3$ è un isomorfismo di gruppi.
Infatti $f(ab) = (ab)^3 = a^3b^3 = f(a)f(b)$ e $ker(f)={1}$ perché $3$ non divide $n$. Quindi rimarrebbe da dimostrare che $Im(f)$ è abeliano, cioé che $a^3b^3 = b^3a^3$ o che $(ab)^3 = (ba)^3$.
Infatti $f(ab) = (ab)^3 = a^3b^3 = f(a)f(b)$ e $ker(f)={1}$ perché $3$ non divide $n$. Quindi rimarrebbe da dimostrare che $Im(f)$ è abeliano, cioé che $a^3b^3 = b^3a^3$ o che $(ab)^3 = (ba)^3$.
"deserto":
2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.
Te lo divido in due parti, cosi' la prima risulta un suggerimento per la seconda:
Non ho capito!
Più precisamente non ho capito per quale motivo risulti $a^2b^2=b^2a^2$
Più precisamente non ho capito per quale motivo risulti $a^2b^2=b^2a^2$
$ababab=(ab)^3
$a^(-1)ababab b^(-1)=a^(-1)a^3b^3b^(-1)$ che semplificando diventa
$baba=(ab)^2=a^2b^2$
ma
$baba$ è uguale anche ad $(ba)^2=b^2a^2$ per il gruppo
quindi $(ab)^2=(ba)^2$ da cui segue $ab=ba$
spero di essere stato chiaro e mi scuso con fields
$a^(-1)ababab b^(-1)=a^(-1)a^3b^3b^(-1)$ che semplificando diventa
$baba=(ab)^2=a^2b^2$
ma
$baba$ è uguale anche ad $(ba)^2=b^2a^2$ per il gruppo
quindi $(ab)^2=(ba)^2$ da cui segue $ab=ba$
spero di essere stato chiaro e mi scuso con fields
"deserto":
Non ho capito!
Più precisamente non ho capito per quale motivo risulti $a^2b^2=b^2a^2$
Nella prima parte ho dimostrato che ogni elemento di $G$ commuta con ogni quadrato. In formule: $\forall x, y \in G$ $xy^2=y^2x$
Ora ho capito
Ringrazio tutti quelli che hanno contribuito con consigli e suggerimenti
Nei prossimi giorni posterò qualche esercizio sui sottogruppi normali
Ringrazio tutti quelli che hanno contribuito con consigli e suggerimenti
Nei prossimi giorni posterò qualche esercizio sui sottogruppi normali
"deserto":
Ora ho capito
Ringrazio tutti quelli che hanno contribuito con consigli e suggerimenti
Nei prossimi giorni posterò qualche esercizio sui sottogruppi normali
Spero per te che non ce ne sia il motivo e che tu riesca a trovare la soluzione da solo. Se non ci riesci comunque noi siamo sempre felici di aiutare...
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