Esercizi sugli ideali
Buonasera a tutti!
Ho dei dubbi su alcuni esercizi riguardanti gli ideali. Comincio con il primo quesito. Man mano che risolveremo i problemi posterò altri quesiti dello stesso genere (non sono molti!).
Nell'anello $ZZ_3[x,y]$ si considerino gli ideali: $I=(x^3+y^3+1)$, $J=(x^2-y^3)$, $M=(x-1,y-1)$. Si provi che:
1) $I$ non è primo.
2) $J$ è primo ma non è massimale.
3) $M$ è massimale.
4) $I+JsubeM$.
Ho pensato ai primi due quesiti: che $I$ non sia primo l'ho dedotto dal fatto che esiste la coppia ordinata di numeri in $ZZ_3$: $(1;1)$ che annulla il polinomio. Quindi non essendo primo il polinomio, non sarà primo neppure l'ideale da esso generato. Riguardo al secondo punto l'ideale è primo perchè non esistono coppie di elementi in $ZZ_3$ che annullano il polinomio, ma non so come provare che è massimale... Potreste aiutarmi anche con i punti seguenti?
Vi ringrazio.
Ho dei dubbi su alcuni esercizi riguardanti gli ideali. Comincio con il primo quesito. Man mano che risolveremo i problemi posterò altri quesiti dello stesso genere (non sono molti!).
Nell'anello $ZZ_3[x,y]$ si considerino gli ideali: $I=(x^3+y^3+1)$, $J=(x^2-y^3)$, $M=(x-1,y-1)$. Si provi che:
1) $I$ non è primo.
2) $J$ è primo ma non è massimale.
3) $M$ è massimale.
4) $I+JsubeM$.
Ho pensato ai primi due quesiti: che $I$ non sia primo l'ho dedotto dal fatto che esiste la coppia ordinata di numeri in $ZZ_3$: $(1;1)$ che annulla il polinomio. Quindi non essendo primo il polinomio, non sarà primo neppure l'ideale da esso generato. Riguardo al secondo punto l'ideale è primo perchè non esistono coppie di elementi in $ZZ_3$ che annullano il polinomio, ma non so come provare che è massimale... Potreste aiutarmi anche con i punti seguenti?
Vi ringrazio.
Risposte
Ho pensato ai primi due quesiti: che $I$ non sia primo l'ho dedotto dal fatto che esiste la coppia ordinata di numeri in $ZZ_3$: $(1;1)$ che annulla il polinomio.E con questo? La stessa coppia ordinata annulla anche $x^2-y^3$, e secondo il tuo ragionamento il punto 2 sarebbe falso.
Io partirei così: [tex]x^3+y^3+1 = (x+y+1)^3[/tex].
Riguardo al secondo punto l'ideale è primo perchè non esistono coppie di elementi in $ZZ_3$ che annullano il polinomioLa coppia $(1,1)$ lo annulla. Comunque non puoi dedurre che un polinomio è primo dal fatto che non ha zeri nel campo base.
Quanto al punto 2, conviene studiare il quoziente [tex]\mathbb{Z}_3[x,y]/(x^2-y^3)[/tex]. Devi mostrare che è un dominio di integrità ma non un campo.
Quanto al punto 3, conviene studiare il quoziente [tex]\mathbb{Z}_3[x,y]/(x-1,y-1)[/tex]. Devi mostrare che è un campo.
Quanto al punto 4, devi mostrare che I e J sono contenuti in M. Per fare questo conviene usare la fattorizzazione di [tex]x^3+y^3+1[/tex] di cui ho accennato sopra e per quanto riguarda [tex]x^2-y^3[/tex], osservare che se sostituisci x=1 ottieni un polinomio diviso da y-1, quindi applicare Ruffini due volte.
Siccome ho capito un po' il tuo stile dagli altri tuoi interventi, ti avviso che non risponderò a domande "lampo", ti chiederei di riflettere bene su quello che ho scritto prima di replicare. Grazie.
Riguardo al punto 2, è più conveniente dimostrare che $\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x^2-y^3)$ è un dominio d'integrità o che il polinomio $x^2-y^3$ è irriducibile in $mathbb{Z}_3[x,y]$ ? Mi pare che dimostrare l'irriducibilità richieda meno calcoli? E' così?
$\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x-1,y-1)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_3$, vero?
$\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x-1,y-1)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_3$, vero?
"Angelo":Non so, a me viene più naturale guardare il quoziente.
Mi pare che dimostrare l'irriducibilità richieda meno calcoli? E' così?
$\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x-1,y-1)$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_3$, vero?Sì.
Scusami per la curiosità, però potresti per favore riportare i passaggi che fai per dimostrare che $\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x^2-y^3)$ è un dominio d'integrità?
"Angelo":Io farei così:
Scusami per la curiosità, però potresti per favore riportare i passaggi che fai per dimostrare che $\mathbb{Z}_3[x,y]$$/(x^2-y^3)$ è un dominio d'integrità?
Un generico elemento di quel quoziente è un polinomio [tex]xf(y)+g(y)[/tex] essendo [tex]x^2=y^3[/tex], e la moltiplicazione sarà
[tex](xf(y)+g(y))(xh(y)+j(y)) = x(f(y)j(y)+g(y)h(y))+y^3f(y)h(y)+g(y)j(y)[/tex].
Se questo prodotto è zero allora [tex]f(y)j(y)+g(y)h(y)=0[/tex] e [tex]y^3f(y)h(y)+g(y)j(y)=0[/tex], e se uno tra [tex]f(y)[/tex] e [tex]g(y)[/tex] è diverso da zero possiamo dividere ottenendo [tex]h(y)^2y^3=j(y)^2[/tex]. Detti [tex]a(y)=j(y)[/tex] e [tex]b(y)=yh(y)[/tex], se [tex]h(y) \neq 0[/tex] otteniamo [tex]y=(a(y)/b(y))^2[/tex]. Da qui è facile dedurre (ragionando sugli zeri di [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex]) che deve essere [tex]h(y)=j(y)=0[/tex].
Io penso che le ultime due righe della dimostrazione possano essere così sostituite:
Da $h(y)^2y^3=j(y)^2$ segue necessariamente che $h(y)=j(y)=0$, altrimenti sarebbero identicamente uguali due polinomi, uno di grado dispari e l'altro di grado pari, e ciò è impossibile.
Che ne pensi?
Da $h(y)^2y^3=j(y)^2$ segue necessariamente che $h(y)=j(y)=0$, altrimenti sarebbero identicamente uguali due polinomi, uno di grado dispari e l'altro di grado pari, e ciò è impossibile.
Che ne pensi?
"Angelo":Ah già è vero
Io penso che le ultime due righe della dimostrazione possano essere così sostituite:
Da $h(y)^2y^3=j(y)^2$ segue necessariamente che $h(y)=j(y)=0$, altrimenti sarebbero identicamente uguali due polinomi, uno di grado dispari e l'altro di grado pari, e ciò è impossibile.
Che ne pensi?
meglio così.
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