Esercizi sugli anelli di polinomi

[Hop Frog1]

Avrei due o tre esercizi svolti di cui non so la correzione vorrei che ci deste un occhiata per dirmi se sono sulla strada giusta..

1) Sia [tex]f: R \rightarrow R'[/tex] morfismo di anelli.
Dimostrare che se a è invertibile in R, allora f(a) è invertibile in R' e:
[tex]f(a^{-1}) = f(a)^{-1}[/tex]

Dim:
Dunque, in un morfismo sappiamo che f(1)=1.
Allora:
[tex]f(1)=f(a * a^{-1})=f(a) * f(a^{-1})=1[/tex]
Da cui:
[tex]f(a^{-1})=(f(a))^{-1}[/tex]
§

2) Se R è un campo anche f(R) è un campo.

Dim:
f(R) è senzadubbio un anello, per ciò che abbiamo dimostrato ora gli inversi ci sono e la commutatività rimane (può andare ?>_> )

3) Sia S sottoanello di R.
Dimost che se P è ideale primo di R, allora [tex]S \cap P[/tex] è ideale primo di S.

Dim:
per essere primo deve essere tale che per ogni a*b in P, o a o b sono in P.
Quindi:
[tex]sia a*b \in S \cap P[/tex](dobbiamo dimostrare che a o b sono in..)

Dunque, se [tex]a*b \in P, a \vee b \in P[/tex] e da qui non so come procedere..

[Hop Frog1]

nessuno che mi dia una dritta?
c è qualche problema col regolamento? non mi pare..

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

L'unica cosa è che forse potevi cercare nel forum, si è già parlato di questi argomenti.

I procedimenti che hai fatto vanno bene. Quanto all'ultimo, è senza ostacoli: devi semplicemente usare il fatto che $P$ è un ideale primo di $R$.