Esercizi Su Isomorfismi
Ragazzi Chiedo Consiglio A Voi Circa Questi Esercizi
Quando mi viene chiesto di esibire due gruppi non isomorfi di ordine 18 oppure di ordine 4
Oppure
Stabilire motivando la risposta se i gruppi (Q8,+) e (D8,+) non sono isomorfi
Come si procede?
Quando mi viene chiesto di esibire due gruppi non isomorfi di ordine 18 oppure di ordine 4
Oppure
Stabilire motivando la risposta se i gruppi (Q8,+) e (D8,+) non sono isomorfi
Come si procede?
Risposte
Controlli l'ordine, il centro, il periodo degli elementi come nell'esempio seguente: il gruppo di Klein [tex]V_4[/tex] e [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] non sono isomorfi (oltre per la non ciclicità di [tex]V_4[/tex]) è che [tex]V_4[/tex] ha 3 elementi di periodo 2 mentre [tex]\mathbb{Z}_4[/tex] né ha 1 ([tex][2]_4[/tex]) (e per cronaca tali sono gli unici gruppi di ordine 4 a meno d'isomorfismi).
Anche il calcolare i sottogruppi, i sottogruppi normali, l'essere ciclici, abeliani, nilpotenti, risolubili aiuta!
Ad esempio tutti i sottogruppi di [tex]Q_8[/tex] sono normali, ciò non è vero in [tex]D_8[/tex]; come se non bastasse [tex]V_4[/tex] è un sottogruppo di [tex]D_8[/tex] ma non di [tex]Q_8[/tex]!
Per concludere coi tuoi esempi proposti io userei [tex]C_{18}[/tex] (ciclico) e [tex]D_{18}[/tex] (non abeliano, per cui non ciclico) come gruppi non isomorfi di ordine 18!
Anche il calcolare i sottogruppi, i sottogruppi normali, l'essere ciclici, abeliani, nilpotenti, risolubili aiuta!
Ad esempio tutti i sottogruppi di [tex]Q_8[/tex] sono normali, ciò non è vero in [tex]D_8[/tex]; come se non bastasse [tex]V_4[/tex] è un sottogruppo di [tex]D_8[/tex] ma non di [tex]Q_8[/tex]!
Per concludere coi tuoi esempi proposti io userei [tex]C_{18}[/tex] (ciclico) e [tex]D_{18}[/tex] (non abeliano, per cui non ciclico) come gruppi non isomorfi di ordine 18!
Quindi Ci Sono Delle "Condizioni" che mi consentono di Verificare Che Due Gruppi Siano Isomorfi o meno
Ovviamente Se L'ordine Dei Due Gruppi e' Diverso Non saranno isomorfi
Se Un Gruppo Ha Sottogruppi tutti normali e l'altro no Allora non sono isomorfi
Poi Se ho capito bene
anche se uno dei due e' ciclico e l'altro no mi consente di dire che i due gruppi non sono isomorfi...giusto?
Per il periodo degli elementi non ho ben capito, cosi' come per il Centro...cosa dovrei verificare?
Ovviamente Se L'ordine Dei Due Gruppi e' Diverso Non saranno isomorfi
Se Un Gruppo Ha Sottogruppi tutti normali e l'altro no Allora non sono isomorfi
Poi Se ho capito bene
anche se uno dei due e' ciclico e l'altro no mi consente di dire che i due gruppi non sono isomorfi...giusto?
Per il periodo degli elementi non ho ben capito, cosi' come per il Centro...cosa dovrei verificare?
Quelle descritte sono solo condizioni necessarie, non si conoscono condizioni sufficienti per l'isomorfia tra gruppi!
Se 2 gruppi avessero centri non isomorfi non sarebbero isomorfi!
Se un gruppo [tex]G_1[/tex] avesse [tex]n_1[/tex] elementi di periodo [tex]p[/tex] ed un altro gruppo [tex]G_2[/tex] né avesse [tex]n_2\neq n_1[/tex] allora non sarebbero isomorfi!
Se 2 gruppi avessero centri non isomorfi non sarebbero isomorfi!
Se un gruppo [tex]G_1[/tex] avesse [tex]n_1[/tex] elementi di periodo [tex]p[/tex] ed un altro gruppo [tex]G_2[/tex] né avesse [tex]n_2\neq n_1[/tex] allora non sarebbero isomorfi!
Si e' vero sono solo necessarie ma il fatto che non sia verificata una sola di esse mi permette di escludere isomorfismi tra i gruppi ^^ Meglio di niente XD
Esistono altre di queste condizioni?
Ad Ogni Modo ti ringrazio Infinitamente Per Il Tuo Aiuto
Esistono altre di queste condizioni?
Ad Ogni Modo ti ringrazio Infinitamente Per Il Tuo Aiuto
Ti dico due sicure: gruppi isomorfi hanno i gruppi quoziente e gli automorfi isomorfi (scusa il gioco di parole)!
Sono insicuro sul calcolare i sottogruppi caratteristici (credo di sì), i sottogruppi pienamente invarianti (credo di no), l'endomorfo, l'essere finitamente od infinitamente (anche quest'ultimo credo di no) generabili.
Sono insicuro sul calcolare i sottogruppi caratteristici (credo di sì), i sottogruppi pienamente invarianti (credo di no), l'endomorfo, l'essere finitamente od infinitamente (anche quest'ultimo credo di no) generabili.
mmm non ho ancora trattato sottogruppi caratteristici, pienamente invariati
ma quella dei gruppi quoziente e' utile
Grazie Mille
ma quella dei gruppi quoziente e' utile
Grazie Mille
Sottolineo, firmo e controfirmo con tanto di notaio le insicurezze esposte (è sabato sera) per cui non mi prendo responsabilità!
Prego M.C.D.!
EDIT: Quando parlo di gruppo finitamente od infinitamente generabile intendo un gruppo il cui insieme generatore minimale (che esiste per il teorema del Buon Ordinamento) sia finito od infinito.
Prego M.C.D.!
EDIT: Quando parlo di gruppo finitamente od infinitamente generabile intendo un gruppo il cui insieme generatore minimale (che esiste per il teorema del Buon Ordinamento) sia finito od infinito.
Approfitto del topic per il seguente esercizio
Provare che i gruppi (Q,+) e (Q-{0},*) non sono isomorfi
Provare che i gruppi (Q,+) e (Q-{0},*) non sono isomorfi
Facile: [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] non ha sottogruppi finiti non banali a differenza di [tex](\mathbb{Q}^{\#},\cdot)[/tex] ove il sottogruppo finito non benale è [tex](\{-1;1\},\cdot)[/tex].
D8, Q8, Z8 Sono 3 gruppi non isomorfi di Ordine 8...Giusto?
Sì, confermo che non sono a coppie isomorfi.
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