Esercizi su Insiemi ed Insieme delle Parti

[angelo.digiacomantonio]

Ciao a tutti amici del Forum,

di seguito vi propongo alcuni i primi esercizi svolti da me nel primo approccio con Matematica Discreta; vi chiedo cortesemente di valutarli e dirmi dove ho sbagliato per aiutarmi meglio a capire i miei errori:

1) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

$∅∈{∅,2}$ => VERA perchè l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme quindi vi appartiene
$∅⊆{∅,{∅}}$ => VERA per lo stesso motivo di prima
${∅}={∅,{∅}}$ => FALSA perchè due insiemi sono uguali se l'uno è incluso nell'altro e viceversa; in questo caso il primo è incluso nel secondo ma non viceversa
${1}∈{1,2}$ => VERA perchè l'insieme {1} appartiene al secondo insieme sia in qualità di elemento ma anche come sottoinsieme
${{1}}⊆{1,2}$ => VERA per lo stesso motivo di prima
$∅={x|x∈Z, X^2<1}$ => FALSO perchè l'insieme Z ammette solo numeri interi, per cui anche se $x^2<1$ comprende numeri decimali, può comprendere anche numeri interi
$∅={x|{1,x}={1,2,3}}$ => VERO perchè i due insiemi non sono l'uno incluso nell'altro, quindi non sono uguali

2) Si descrivano gli insiemi:

$P({1,2,3,4}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2,3,4}}$
$P(P(P(∅))) = {∅, {∅}, {∅}}$

Infine vi chiedo gentilmente di aiutarmi a risolvere un esercizio: "Se A e B sono due insiemi, provare che $A⊆B$ se e solo se $P(A)⊆P(B)$"

come faccio a provare questa cosa? Non so proprio da dove partire

Grazie a tutti per l'interessamento.

[40rob]

"angelo.digiacomantonio":Ciao a tutti amici del Forum,

di seguito vi propongo alcuni i primi esercizi svolti da me nel primo approccio con Matematica Discreta; vi chiedo cortesemente di valutarli e dirmi dove ho sbagliato per aiutarmi meglio a capire i miei errori:

1) Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

$∅∈{∅,2}$ => VERA perchè l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme quindi vi appartiene

Questa è VERA, ma non perché $∅$ è un sottoinsieme di ogni insieme ma perché $∅$ compare nella lista tra le parentesi graffe.

$∅⊆{∅,{∅}}$ => VERA per lo stesso motivo di prima

Questa è VERA perché il vuoto è incluso in ogni insieme, è corretto

${∅}={∅,{∅}}$ => FALSA perchè due insiemi sono uguali se l'uno è incluso nell'altro e viceversa; in questo caso il primo è incluso nel secondo ma non viceversa

corretto.

${1}∈{1,2}$ => VERA perchè l'insieme {1} appartiene al secondo insieme sia in qualità di elemento ma anche come sottoinsieme

è FALSA, ${1}$ non appartiene a ${1, 2}$ vi è incluso soltanto. Nella lista tra parentesi graffe cioé $1, 2$, compare $1$ ma non ${1}$.

${{1}}⊆{1,2}$ => VERA per lo stesso motivo di prima

è FALSA anche questa. Affinché un primo insieme sia incluso in un secondo insieme tutti gli elementi del primo devono appartenere al secondo, in pratica tutti gli elementi scritti tra le parentesi graffe del primo e cioé ${1}$ devono comparire tra quelli elencati tra le parentesi graffe del secondo. Siccome gli elementi del secondo sono $1$ e $2$ ed ${1}$ è distinto sia da $1$ che da $2$ l'affermazione è FALSA.

$∅={x|x∈Z, X^2<1}$ => FALSO perchè l'insieme Z ammette solo numeri interi, per cui anche se $x^2<1$ comprende numeri decimali, può comprendere anche numeri interi

è FALSO ma non ho capito bene la tua spiegazione, io direi che è falso perché $2∈Z$ e $2^2<1$ sono vere perciò $2$ appartiene a ${x|x∈Z, X^2<1}$ (insomma 2 è un elemento del dominio di riferimento Z e soddisfa la proprietà caratteristica dell'insieme). Per mostrare che un insieme è diverso dal vuoto basta mostrare che gli appartiene anche un solo elemento.

$∅={x|{1,x}={1,2,3}}$ => VERO perchè i due insiemi non sono l'uno incluso nell'altro, quindi non sono uguali

VERO, corretto, ma parli dei due insiemi ${1,x}$, ${1,2,3}$? Effettivamente ${1,2,3}$ non può essere incluso in ${1,x}$ perché ha tre elementi mentre ${1,x}$ scegliendo un x a caso, ne può avere al più due.

Infine vi chiedo gentilmente di aiutarmi a risolvere un esercizio: "Se A e B sono due insiemi, provare che $A⊆B$ se e solo se $P(A)⊆P(B)$"

come faccio a provare questa cosa? Non so proprio da dove partire

Grazie a tutti per l'interessamento.

Per dimostrare le doppie implicazioni "se e solo se" puoi provare a procedere così, dimostri prima un'implicazione e poi l'altra, quindi scomponi $A⊆B$ se e solo se $P(A)⊆P(B)$ in

$1) A⊆B \Rightarrow P(A)⊆P(B)$ (questo significa che se è vero $A⊆B$ allora è vero $P(A)⊆P(B)$)

$2) P(A)⊆P(B) \Rightarrow A⊆B$

e dimostri le due affermazioni separatamente.

Dimostriamo per esempio la prima $1)$.

Uno dei sistemi che si usano per provare un'implicazione è quello di assumere la verità dell'antecedente (la prima affermazione), che nel nostro caso è $A⊆B$, e da questo assunto si cerca di provare che deve essere vero anche $P(A)⊆P(B)$.

1) Quindi $A⊆B$ diciamo che è vero.

Per mostrare ora che deve essere vero anche $P(A)⊆P(B)$ mostriamo che ogni elemento di $P(A)$ sta in $P(B)$.
Per dimostrare questo fatto si usa spesso questa strategia, si assume per vero che un elemento appartiene al primo insieme e si cerca di mostrare che se è vero questo fatto è vero anche che questo stesso elemento generico deve appartenere anche al secondo insieme. Nel nostro caso il primo insieme è $P(A)$ mentre il secondo è $P(B)$.

Sia $a$ un elemento generico di $P(A)$ ossia assumiamo che $a∈P(A)$. Siccome $P(A) = {x| x ⊆ A}$ abbiamo che $a$ deve soddisfare la proprietà caratteristica $x ⊆ A$, quindi $a ⊆ A$ siccome abbiamo assunto che $A⊆B$ (in 1)) per la proprietà transitiva dell'inclusione (se un insieme $A$ è incluso in $B$ e $B$ è incluso in $C$ è vero allora anche che $A$ è incluso in $C$ è vero) si ha che $a ⊆ B$ è vero. Siccome $P(B) = {x| x ⊆ B}$ e $a$ soddisfa la proprietà caratteristica di $P(B)$ ($a ⊆ B$ è vero) allora $a ∈ P(B)$. L'altra implicazione prova a dimostrarla tu .

Ciao

[angelo.digiacomantonio]

Ciao,

grazie mille per la tua disponibilità!

Allora ho capito un pò tutto solo che mi sorge un dubbio:

è falso perché $2∈Z$ e $2^2<1$ sono vere perciò $2$ appartiene a ${x∣x∈Z,x^2<1}$ (insomma $2$ è un elemento del dominio di riferimento $Z$ e soddisfa la proprietà caratteristica dell'insieme).

Nel dimostrarmi questa cosa hai assunto $2$ come un elemento a caso dell'insieme $Z$ dei numeri interi...ma come fai a dire che $2^2<1$?