Esercizi su insiemi e funzioni
Ciao a tutti, vi chiedo se possibile di aiutarmi con la risoluzione di alcuni esercizi... In teoria sarei anche arrivata ad una soluzione (che posterò), ma essendo una capra totale mi fido poco di me stessa.. 
perdonate anche i termini probabilmente usati in maniera impropria! Vi chiedo perciò di spiegarmi se il ragionamento è giusto o ci sono arrivata in maniera un po' troppo "grezza", eventualmente correggendomi anche nei termini e nelle notazioni =)
[size=130]ESERCIZIO 1[/size]
Sia $f D → N$ la funzione definita da $f (d) : = (d - 1)/2$ $AA d in D$
(dove D è l'insieme dei numeri dispari e N l'insieme dei numeri naturali).
Quale delle seguenti asserzioni è vera? (solo una)
1) $f$ è suriettiva, ma non iniettiva
2) $f$ è iniettiva, ma non suriettiva
3) $f$ $(d^2)$ $=$ $(d - 1)^2$ $AA d in D$
4) $f$ è invertibile con inversa $g: N → D$ definita da $g(n): = 2n + 1$ $AA n in N$
5) Nessuna delle altre risposte
Per come ho svolto l'esercizio, quella vera dovrebbe essere la 4...
Ho associato rispettivamente tra insieme D ed N:
1 --> 0
3 --> 1
5 --> 2
7 --> 3
E così via...
Infatti la funzione è sia suriettiva che iniettiva, e dunque biiettiva, perché ad ogni elemento di D associo un solo elemento di N, e allo stesso tempo non c'è nessun elemento di N che non sia "immagine" di qualche elemento di D. Quindi escludo la 1 e la 2.
Per quanto riguarda la 3, ho preso ad esempio in considerazione la funzione fra 7 e 3.
$3^2 = 9$
mentre
$6^2 = 36$
Quindi non è vero che la regola vale $AA d in D$, perché questo è già un controesempio.
Infine la 4: prendendo sempre la funzione fra 7 e 3, già si vede che viene 6+1 = 7 e dunque la regola vale per ogni n appartenente a N. Come si può scrivere tutto ciò in maniera decente??
La 5 conseguentemente è falsa
[size=130]ESERCIZIO 2[/size]
Siano $A: = {a, b, c}$ e $X: = {x, y, z}$ due insiemi.
Sia $f: P(A) → P(X)$ un'arbitraria funzione tra i rispettivi insiemi delle parti.
Quale tra le seguenti asserzioni è vera?
1) $f (A) = X$
2) $f$ è sempre iniettiva
3) Se $f$ è biunivoca, allora $|f ({a,b})| = 2$
4) Se $f {a,b} = {x,y}$ e $f {a,c} = {x,z}$ allora $f {a} = {x}$
5) Se $f$ è suriettiva, allora è biunivoca
Qui risponderei la 1, ma ne sono molto poco convinta..
Allora, consideriamo:
$P(A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}$
$P(X) = { ∅, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, X}$
Per quanto riguarda la 1, quello che non capisco è: con $f (A)$ cosa si intende?? il sottoinsieme A facente parte dell'insieme A, o l'insieme A nel suo complesso?? =( (oppure nessuna delle due :p)
Perché così su due piedi mi verrebbe da dire che è vera, anche se non riesco esattamente ad afferrarne il senso.
Poi considero la 2: vabbè chi l'ha detto che è sempre iniettiva? essendo una funzione arbitraria, posso anche associare più elementi di X ad un solo elemento di A.
Di conseguenza escludo la 5, perché non basta che sia solo suriettiva perché sia biunivoca; e visto che ho affermato che non è sempre iniettiva, la 5 è falsa.
Poi guardo la 3: se avessi associato {a,b} a {x,y}, la risposta sarebbe vera... ma se la associo a {y} (ad esempio) la condizione non si verifica più.. Quindi è falsa.. Solo che non capisco perché viene fatta la premessa "se $f$ è biunivoca"!
Infine la 4: data quella premessa, non è detto che associ a ad x, potrei anche associarla a y. E dunque è falsa!
Grazie in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi =D
perdonate anche i termini probabilmente usati in maniera impropria! Vi chiedo perciò di spiegarmi se il ragionamento è giusto o ci sono arrivata in maniera un po' troppo "grezza", eventualmente correggendomi anche nei termini e nelle notazioni =)[size=130]ESERCIZIO 1[/size]
Sia $f D → N$ la funzione definita da $f (d) : = (d - 1)/2$ $AA d in D$
(dove D è l'insieme dei numeri dispari e N l'insieme dei numeri naturali).
Quale delle seguenti asserzioni è vera? (solo una)
1) $f$ è suriettiva, ma non iniettiva
2) $f$ è iniettiva, ma non suriettiva
3) $f$ $(d^2)$ $=$ $(d - 1)^2$ $AA d in D$
4) $f$ è invertibile con inversa $g: N → D$ definita da $g(n): = 2n + 1$ $AA n in N$
5) Nessuna delle altre risposte
Per come ho svolto l'esercizio, quella vera dovrebbe essere la 4...
Ho associato rispettivamente tra insieme D ed N:
1 --> 0
3 --> 1
5 --> 2
7 --> 3
E così via...
Infatti la funzione è sia suriettiva che iniettiva, e dunque biiettiva, perché ad ogni elemento di D associo un solo elemento di N, e allo stesso tempo non c'è nessun elemento di N che non sia "immagine" di qualche elemento di D. Quindi escludo la 1 e la 2.
Per quanto riguarda la 3, ho preso ad esempio in considerazione la funzione fra 7 e 3.
$3^2 = 9$
mentre
$6^2 = 36$
Quindi non è vero che la regola vale $AA d in D$, perché questo è già un controesempio.
Infine la 4: prendendo sempre la funzione fra 7 e 3, già si vede che viene 6+1 = 7 e dunque la regola vale per ogni n appartenente a N. Come si può scrivere tutto ciò in maniera decente??
La 5 conseguentemente è falsa
[size=130]ESERCIZIO 2[/size]
Siano $A: = {a, b, c}$ e $X: = {x, y, z}$ due insiemi.
Sia $f: P(A) → P(X)$ un'arbitraria funzione tra i rispettivi insiemi delle parti.
Quale tra le seguenti asserzioni è vera?
1) $f (A) = X$
2) $f$ è sempre iniettiva
3) Se $f$ è biunivoca, allora $|f ({a,b})| = 2$
4) Se $f {a,b} = {x,y}$ e $f {a,c} = {x,z}$ allora $f {a} = {x}$
5) Se $f$ è suriettiva, allora è biunivoca
Qui risponderei la 1, ma ne sono molto poco convinta..
Allora, consideriamo:
$P(A) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}$
$P(X) = { ∅, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, X}$
Per quanto riguarda la 1, quello che non capisco è: con $f (A)$ cosa si intende?? il sottoinsieme A facente parte dell'insieme A, o l'insieme A nel suo complesso?? =( (oppure nessuna delle due :p)
Perché così su due piedi mi verrebbe da dire che è vera, anche se non riesco esattamente ad afferrarne il senso.
Poi considero la 2: vabbè chi l'ha detto che è sempre iniettiva? essendo una funzione arbitraria, posso anche associare più elementi di X ad un solo elemento di A.
Di conseguenza escludo la 5, perché non basta che sia solo suriettiva perché sia biunivoca; e visto che ho affermato che non è sempre iniettiva, la 5 è falsa.
Poi guardo la 3: se avessi associato {a,b} a {x,y}, la risposta sarebbe vera... ma se la associo a {y} (ad esempio) la condizione non si verifica più.. Quindi è falsa.. Solo che non capisco perché viene fatta la premessa "se $f$ è biunivoca"!
Infine la 4: data quella premessa, non è detto che associ a ad x, potrei anche associarla a y. E dunque è falsa!
Grazie in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi =D
Risposte
Sul primo esercizio sono daccordo 
Per il secondo... f(A) è l'immagine dell'elemento $ A \in P(A) $ mediante la funzione f ... hai forse la certezza che $ f(A)=X $ e non uno degli altri elementi di P(X)?? Pensaci 
Prova a costruire una funzione surriettiva da P(A) a P(X) e poi controlla se è iniettiva
Per il secondo... f(A) è l'immagine dell'elemento $ A \in P(A) $ mediante la funzione f ... hai forse la certezza che $ f(A)=X $ e non uno degli altri elementi di P(X)?? Pensaci Di conseguenza escludo la 5, perché non basta che sia solo suriettiva perché sia biunivoca; e visto che ho affermato che non è sempre iniettiva, la 5 è falsa.
Prova a costruire una funzione surriettiva da P(A) a P(X) e poi controlla se è iniettiva
"perplesso":
f(A) è l'immagine dell'elemento $ A \in P(A) $ mediante la funzione f ... hai forse la certezza che $ f(A)=X $ e non uno degli altri elementi di P(X)?? Pensaci
In effetti no...!! Perché potrei associarlo a uno qualunque degli altri elementi di $P(X)$!! e non per forza ad X stesso, anche se di primo acchito mi era venuto automatico.. =)
Prova a costruire una funzione surriettiva da P(A) a P(X) e poi controlla se è iniettiva
Ahaha cavolo è vero! ^_^"""
Quindi in pratica per due insiemi che hanno stessa cardinalità mi basta verificare che la funzione sia suriettiva per affermare che sia biunivoca?
Ultima domanda: le considerazioni fatte per la 3 e la 4 sono giuste? Se sì, per quanto riguarda la 3 in particolare non ho capito la necessità di premettere "Se $f$ è biunivoca"!
Intanto grazie mille per la risposta =)
Quindi in pratica per due insiemi che hanno stessa cardinalità mi basta verificare che la funzione sia suriettiva per affermare che sia biunivoca?
Se i due insiemi sono finiti e hanno lo stesso numero di elementi, dire che la funzione è surriettiva è lo stesso che dire che è iniettiva ed equivale a dire che è biettiva
per quanto riguarda la 3 in particolare non ho capito la necessità di premettere "Se f è biunivoca"!
Serve per confonderti e farti sbagliare xD
Intanto grazie mille per la risposta =)
Prego
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