Esercizi su iniettività e suriettività di funzioni
Presento alcuni esercizi che hanno per argomento, come da titolo, le funzioni e le loro proprietà su dominio e codominio.
Vi chiedo cortesemente di darmi qualche consiglio sulla risoluzione o interpretazione degli stessi.
1)Preso [tex]A=B \subseteq \mathbb{Z}[/tex] tale che sia [tex]f[/tex] funzione [tex]f: A \rightarrow B[/tex], analizzare le seguenti relazioni e dire se sono funzioni. Specificare poi l'immagine; se sono iniettive, suriettive, biiettive ed in tal caso determinare l'inversa:
a. [tex]\{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\mid x+y=3\}[/tex]
b. [tex]\{(x,6) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
c. [tex]\{(0,y) \mid y\in \mathbb{Z}\}[/tex]
d. [tex]\{(x,(x-2)^2) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
e. [tex]\{(x,x-1) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
f. [tex]\{(x,|{x}| ) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
g. [tex]\{(|{x}|,x ) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
2) Siano [tex]A := \{a,b,c\}[/tex] e [tex]B := \{0,1\}[/tex]. Si determinino tutte le funzioni da [tex]A[/tex] a [tex]B[/tex] e quelle da [tex]B[/tex] ad [tex]A[/tex]. Quali tra queste sono iniettive, suriettive, biiettive?
Risoluzione:
1)
a. E' una funzione, E' rappresentabile sugli assi cartesiani quale una retta con coefficiente angolare -1 e intercetta all'asse delle ordinate pari a 3. L'immagine della funzione è l'insieme [tex]\mathbb{Z}[/tex], tale funzione è iniettiva e suriettiva(quindi biiettiva) e la sua inversa è [tex]x=f^{-1}(y)=3-y[/tex].
b. E' una funzione. La sua immagine è l'insieme singoletto [tex]\{6\}[/tex]. Non è iniettiva in quanto costante, ovvero ad ogni valore del dominio corrisponde l'unico valore appartenente all'immagine della funzione. E' suriettiva.
c. Non è una funzione in quanto al valore 0 del dominio sono associati infiniti valori del codominio.
d. E' una funzione. L'immagine della funzione è [tex]{{\mathbb{Z}}_{0}}^{+}[/tex]. Non è iniettiva, in quanto ad esempio [tex]f(1)=f(3)=1[/tex]. E' suriettiva.
e. E' una funzione. La sua rappresentazione sugli assi cartesiani è una retta con coefficiente angolare 1 ed intercetta all'asse delle ordinate -1. E' iniettiva. E' suriettiva. La sua inversa è [tex]x={f}^{-1}(y)=y+1[/tex].
f. E' una funzione, più precisamente la funzione modulo o valore assoluto. La sua immagine è [tex]{{\mathbb{Z}}_{0}}^{+}[/tex]. Non è iniettiva. E' suriettiva.
Non è una funzione in quanto, ad esempio, [tex]f(|{3}|)=f(3)=3[/tex] e [tex]f(|{-3}|)=f(3)=-3[/tex].
2) Non riesco ad interpretare la possibile consegna, nel senso che se penso la funzione come prodotto cartesiano è chiaro che non è una funzione ma una relazione. Se prendo un sottoinsieme proprio di coppie del prodotto cartesianio quale questo [tex]\{(a,0),(b,0),(c,0)\}[/tex] è chiaro che la funzione non è iniettiva ed è suriettiva...
Come mi consigliate di affrontare/risolvere questo esercizio?
Grazie a tutti in anticipo e Buon Anno!!
Vi chiedo cortesemente di darmi qualche consiglio sulla risoluzione o interpretazione degli stessi.
1)Preso [tex]A=B \subseteq \mathbb{Z}[/tex] tale che sia [tex]f[/tex] funzione [tex]f: A \rightarrow B[/tex], analizzare le seguenti relazioni e dire se sono funzioni. Specificare poi l'immagine; se sono iniettive, suriettive, biiettive ed in tal caso determinare l'inversa:
a. [tex]\{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\mid x+y=3\}[/tex]
b. [tex]\{(x,6) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
c. [tex]\{(0,y) \mid y\in \mathbb{Z}\}[/tex]
d. [tex]\{(x,(x-2)^2) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
e. [tex]\{(x,x-1) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
f. [tex]\{(x,|{x}| ) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
g. [tex]\{(|{x}|,x ) \mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex]
2) Siano [tex]A := \{a,b,c\}[/tex] e [tex]B := \{0,1\}[/tex]. Si determinino tutte le funzioni da [tex]A[/tex] a [tex]B[/tex] e quelle da [tex]B[/tex] ad [tex]A[/tex]. Quali tra queste sono iniettive, suriettive, biiettive?
Risoluzione:
1)
a. E' una funzione, E' rappresentabile sugli assi cartesiani quale una retta con coefficiente angolare -1 e intercetta all'asse delle ordinate pari a 3. L'immagine della funzione è l'insieme [tex]\mathbb{Z}[/tex], tale funzione è iniettiva e suriettiva(quindi biiettiva) e la sua inversa è [tex]x=f^{-1}(y)=3-y[/tex].
b. E' una funzione. La sua immagine è l'insieme singoletto [tex]\{6\}[/tex]. Non è iniettiva in quanto costante, ovvero ad ogni valore del dominio corrisponde l'unico valore appartenente all'immagine della funzione. E' suriettiva.
c. Non è una funzione in quanto al valore 0 del dominio sono associati infiniti valori del codominio.
d. E' una funzione. L'immagine della funzione è [tex]{{\mathbb{Z}}_{0}}^{+}[/tex]. Non è iniettiva, in quanto ad esempio [tex]f(1)=f(3)=1[/tex]. E' suriettiva.
e. E' una funzione. La sua rappresentazione sugli assi cartesiani è una retta con coefficiente angolare 1 ed intercetta all'asse delle ordinate -1. E' iniettiva. E' suriettiva. La sua inversa è [tex]x={f}^{-1}(y)=y+1[/tex].
f. E' una funzione, più precisamente la funzione modulo o valore assoluto. La sua immagine è [tex]{{\mathbb{Z}}_{0}}^{+}[/tex]. Non è iniettiva. E' suriettiva.
Non è una funzione in quanto, ad esempio, [tex]f(|{3}|)=f(3)=3[/tex] e [tex]f(|{-3}|)=f(3)=-3[/tex].
2) Non riesco ad interpretare la possibile consegna, nel senso che se penso la funzione come prodotto cartesiano è chiaro che non è una funzione ma una relazione. Se prendo un sottoinsieme proprio di coppie del prodotto cartesianio quale questo [tex]\{(a,0),(b,0),(c,0)\}[/tex] è chiaro che la funzione non è iniettiva ed è suriettiva...
Come mi consigliate di affrontare/risolvere questo esercizio?
Grazie a tutti in anticipo e Buon Anno!!
Risposte
1.b) e 1.d) sono errati, le funzioni non sono suriettive.
mi sembra che tu abbia considerato come codominio l'immagine della funzione, il che rende inutile chiedersi se la funzione sia suriettiva. ricordati però che hai \(A=B\subseteq\mathbb Z\) e \(f:A\to B\).
1.f) ti sei contraddetto. una relazione non può essere e non essere una funzione.
2) chiaramente di bigettive non ce ne sono, in quanto \(|A|>|B|\).
per lo stesso motivo, non troverai iniezioni da \(A\) in \(B\), né suriezioni da \(B\) in \(A\).
visto che tutto sommato sono poche, credo che l'esercizio chieda di esibirle tutte.
comunque, quella che hai mostrato come esempio non è suriettiva.
mi sembra che tu abbia considerato come codominio l'immagine della funzione, il che rende inutile chiedersi se la funzione sia suriettiva. ricordati però che hai \(A=B\subseteq\mathbb Z\) e \(f:A\to B\).
1.f) ti sei contraddetto. una relazione non può essere e non essere una funzione.
2) chiaramente di bigettive non ce ne sono, in quanto \(|A|>|B|\).
per lo stesso motivo, non troverai iniezioni da \(A\) in \(B\), né suriezioni da \(B\) in \(A\).
visto che tutto sommato sono poche, credo che l'esercizio chieda di esibirle tutte.
comunque, quella che hai mostrato come esempio non è suriettiva.
Innanzitutto ti ringrazio.
Per la f premetto subito che ho sbagliato a scrivere... in realtà quella era la g. Ora correggo.
In effetti è vero, ho posto nei casi b e d l'immagine della funzione uguale al codominio.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, non è che mi chiarisci un attimo quali sono tutte le funzioni che hanno per dominio A e codominio B?
Grazie e ancora auguri!
Per la f premetto subito che ho sbagliato a scrivere... in realtà quella era la g. Ora correggo.
In effetti è vero, ho posto nei casi b e d l'immagine della funzione uguale al codominio.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, non è che mi chiarisci un attimo quali sono tutte le funzioni che hanno per dominio A e codominio B?
Grazie e ancora auguri!
le funzioni da \(A\) in \(B\) sono \(8\).
(io le ho scritte così, ma puoi ovviamente metterle come coppie del prodotto cartesiano. a te la scelta)
mentre quelle da \(B\) in \(A\) sono \(9\).
(io le ho scritte così, ma puoi ovviamente metterle come coppie del prodotto cartesiano. a te la scelta)
Grazie mille!
Quindi la dicitura "generare le possibili funzioni" relativa questo esercizio vuol dire generare tutte le possibili combinazioni di corrispondenze tra l'insieme dominio e quello codominio.
Nel caso avessi ulteriori dubbi nei giorni successivi riposto!!
Grazie mille ancora ed auguri!!
Quindi la dicitura "generare le possibili funzioni" relativa questo esercizio vuol dire generare tutte le possibili combinazioni di corrispondenze tra l'insieme dominio e quello codominio.
Nel caso avessi ulteriori dubbi nei giorni successivi riposto!!
Grazie mille ancora ed auguri!!
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