Esercizi su i gruppi.
Buonasera, ho il seguente esercizio riguardanti i gruppi.
Giusto per avere una comprensione di quello che vi sto chiedere, riporto solo i passaggi più importanti che precedono la mia difficolta, cioè non vi riporto i conti, se sbaglio ditemelo che li riporto.
Sia $G=GL(2,ZZ_5)$ gruppo e si consideri la seguente sua parte \(\displaystyle H=\{\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix} : a,b \in Z_5, a\ne0\}\).
La prima cosa che mi si chiede di determinare se $H$ è un sottogruppo, determinare l'ordine ed infine verificare se è abeliano.
Questo l'ho fatto, dopodiché mi si chiede di determinare il periodo di \(\displaystyle x=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) in tal caso osservo che per ogni $n in NN$ si ha \(\displaystyle x^{n}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{vmatrix} \), ovviamente l'elemento $n$ presente nella matrice, è un elemento di $ZZ_5$, quindi, il periodo di $x$ è $5$.
Poi mi viene chiesto di scrivere gli elementi di $L= = {x^n\:\n in ZZ}$ con $n in ZZ$, osservo che se $n<0 \ to -n>0$ ed \(\displaystyle x^{n}=(x^{-n})^{-1}={\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -n & 1 \end{vmatrix}}^{-1}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{vmatrix} \) allora concludo che \(\displaystyle =\{1,x,x^2,x^3,x^4\} \).
Difficoltà
Alla fine dovrei determinare se $L$ è normale in $H$ e determinare l'ordine di $H/L$.
La verifica che $L$ è normale in $H$ l'ho fatta avrei delle difficoltà per determinare l'ordine del gruppo quoziente.
Comunque vi propongo un mio svolgimento:
Per definizione si ha \(\displaystyle H/L=\{\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}L : \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix} \in H \}\)
Dall'altra parte considerando \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in H \) posso osservare
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}L = \begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix}L \leftrightarrow {\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}}^{-1}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L \leftrightarrow \begin{vmatrix} 1/a & 0 \\ -b/a & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L\leftrightarrow \begin{vmatrix} x/a & 0 \\ -b/a+y & 1 \end{vmatrix} \in L \)
cioè se e solo se $x/a=1 leftrightarrow xa^-1=1 leftrightarrow xa^-1a=a leftrightarrow x=a. $
Dopodiché $a in {bar(1),bar(2),bar(3),bar(4)}$. Quindi fissando $a$ in tale insieme faccio variare $b$ in $ZZ_5$ ma poi non si concludere.
Ciao
Giusto per avere una comprensione di quello che vi sto chiedere, riporto solo i passaggi più importanti che precedono la mia difficolta, cioè non vi riporto i conti, se sbaglio ditemelo che li riporto.
Sia $G=GL(2,ZZ_5)$ gruppo e si consideri la seguente sua parte \(\displaystyle H=\{\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix} : a,b \in Z_5, a\ne0\}\).
La prima cosa che mi si chiede di determinare se $H$ è un sottogruppo, determinare l'ordine ed infine verificare se è abeliano.
Questo l'ho fatto, dopodiché mi si chiede di determinare il periodo di \(\displaystyle x=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \) in tal caso osservo che per ogni $n in NN$ si ha \(\displaystyle x^{n}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{vmatrix} \), ovviamente l'elemento $n$ presente nella matrice, è un elemento di $ZZ_5$, quindi, il periodo di $x$ è $5$.
Poi mi viene chiesto di scrivere gli elementi di $L=
Difficoltà
Alla fine dovrei determinare se $L$ è normale in $H$ e determinare l'ordine di $H/L$.
La verifica che $L$ è normale in $H$ l'ho fatta avrei delle difficoltà per determinare l'ordine del gruppo quoziente.
Comunque vi propongo un mio svolgimento:
Per definizione si ha \(\displaystyle H/L=\{\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}L : \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix} \in H \}\)
Dall'altra parte considerando \(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in H \) posso osservare
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}L = \begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix}L \leftrightarrow {\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}}^{-1}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L \leftrightarrow \begin{vmatrix} 1/a & 0 \\ -b/a & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L\leftrightarrow \begin{vmatrix} x/a & 0 \\ -b/a+y & 1 \end{vmatrix} \in L \)
cioè se e solo se $x/a=1 leftrightarrow xa^-1=1 leftrightarrow xa^-1a=a leftrightarrow x=a. $
Dopodiché $a in {bar(1),bar(2),bar(3),bar(4)}$. Quindi fissando $a$ in tale insieme faccio variare $b$ in $ZZ_5$ ma poi non si concludere.
Ciao
Risposte
Vi sono $4$ valori di $a\in ZZ_5$ diversi da $0$, e per ciascuno di essi ve ne sono $5$ per $b\in ZZ_5$; quindi $H$ ha ordine $4\cdot 5=20$. Hai già trovato che $L$ ha ordine $5$, quindi il gruppo quoziente ha ordine $20/5=4$.
Grazie.
Quindi ora se volessi determinare gli elementi del gruppo quoziente dovrei prendere in considerazione quello che stavo osservando qui
- la prima e la quarta entrata uguale ad $1$, cioè $x=a=1$
- la seconda entrata uguale a $0$,
- la terza entrata, con $a=1,$ implica $-b/a+y=y-b$ con $y-1=b$ con $1 le y le 4$
quindi, \(\displaystyle H/L=\{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}L\} \).
Ipotizzando che abbia definito in modo corretto gli elementi di $H/L$, risulta che l'unità in $H/L$ è \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}L \) ed l'inverso di $yH in H/L$ è $y^-1H$, inoltre, l'operazione indotta dal gruppo $H$ in $H/L$ è associativa, per cui $H/L(*)$ è un gruppo, detto gruppo quoziente.
Ciao
Quindi ora se volessi determinare gli elementi del gruppo quoziente dovrei prendere in considerazione quello che stavo osservando qui
"Pasquale 90":e procedere osservando che le matrici di $L$ hanno
\( \displaystyle \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}L = \begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix}L \leftrightarrow {\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix}}^{-1}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L \leftrightarrow \begin{vmatrix} 1/a & 0 \\ -b/a & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1 \end{vmatrix} \in L\leftrightarrow \begin{vmatrix} x/a & 0 \\ -b/a+y & 1 \end{vmatrix} \in L \)
cioè se e solo se $ x/a=1 leftrightarrow xa^-1=1 leftrightarrow xa^-1a=a leftrightarrow x=a. $
Ciao
- la prima e la quarta entrata uguale ad $1$, cioè $x=a=1$
- la seconda entrata uguale a $0$,
- la terza entrata, con $a=1,$ implica $-b/a+y=y-b$ con $y-1=b$ con $1 le y le 4$
quindi, \(\displaystyle H/L=\{\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}L, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}L\} \).
Ipotizzando che abbia definito in modo corretto gli elementi di $H/L$, risulta che l'unità in $H/L$ è \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}L \) ed l'inverso di $yH in H/L$ è $y^-1H$, inoltre, l'operazione indotta dal gruppo $H$ in $H/L$ è associativa, per cui $H/L(*)$ è un gruppo, detto gruppo quoziente.
Ciao
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