Esercizi su gruppi (esame imminente :S) ?
ciao sono nuovo del forum mi chiedevo se potevate aiutarmi su queste tipologie di esercizi che per me sono per ora off limits ( e spero nn lo siano ancora per molto ).
L'esercizio è questo : sia ( G ; w ) un gruppo e sia C = x appartenente a G : x w y = y w x
si verifichi che C è sottogruppo abeliano di G... qualcuno mi potrebbe spiegare che fare ? come dimostrare che w ( operazione binaria interna su G e C ) è associativa che esiste l elemento neutro e che esiste l' elemento opposto ( le 3 condizioni affinche C sia un gruppo insomma )
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che leggeranno il mio problema sperando in una risposta ... saluti
L'esercizio è questo : sia ( G ; w ) un gruppo e sia C = x appartenente a G : x w y = y w x
si verifichi che C è sottogruppo abeliano di G... qualcuno mi potrebbe spiegare che fare ? come dimostrare che w ( operazione binaria interna su G e C ) è associativa che esiste l elemento neutro e che esiste l' elemento opposto ( le 3 condizioni affinche C sia un gruppo insomma )
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che leggeranno il mio problema sperando in una risposta ... saluti
Risposte
[mod="Martino"]Ciao, benvenuto nel forum.
Attento alla sezione in cui intervieni. La teoria dei gruppi va nella sezione di algebra. Sposto.[/mod]
Attento alla sezione in cui intervieni. La teoria dei gruppi va nella sezione di algebra. Sposto.[/mod]
E chi è $y$? Forse un altro elemento di $G$? E deve valere per ogni $y in G$ vero? Scrivi esattamente la traccia altrimenti diventa difficile, magari usando le formule (click!).
Per entrare nel merito. Quali sono le condizioni affinchè $C$ sia un sottogruppo?
Esiste sicuramente un elemento fissato da ogni $y$?
Per entrare nel merito. Quali sono le condizioni affinchè $C$ sia un sottogruppo?
Esiste sicuramente un elemento fissato da ogni $y$?
scusate se ho sbagliato sezione cmq riporto esattamente la traccia ...
Sia (G; $\omega$ ) un gruppo e sia C= [ x $in$ G t.c. $AA$ y $in$ G : x $\omega$ y = y $\omega$ x ]
si verifichi che C è un sottogruppo abeliano di G.
Sia (G; $\omega$ ) un gruppo e sia C= [ x $in$ G t.c. $AA$ y $in$ G : x $\omega$ y = y $\omega$ x ]
si verifichi che C è un sottogruppo abeliano di G.
Partiamo col verificare che $C$ sia un sottogruppo, conosci quali condizioni si devono verificare?
si, se non ricordo male deve essere C sottoinsieme di G e deve essere esso stesso un gruppo rispetto l'operazione binaria che è definita in G, in questo caso $\omega$, sbaglio ?
Il che equivale a richiedere che $C$ sia non vuoto e che l'elemento neutro vi appartenga e che presi $a,b in C$ $a \omega b $ appartenga a $C$.
Partiamo dal mostrare che $1 in C$ e di conseguenza $C$ sarà non vuoto. Sapresti farlo? E' semplice. Ricordati che $1$ è l'elemento neutro del gruppo!
Partiamo dal mostrare che $1 in C$ e di conseguenza $C$ sarà non vuoto. Sapresti farlo? E' semplice. Ricordati che $1$ è l'elemento neutro del gruppo!
no 
per quanto ti possa sembrare banale non so proprio da dove iniziare, non abbiamo mai fatti di questi esercizi... potresti spiegarmelo per favore ? perchè dici che 1 è elemento neutro del gruppo ? da cosa lo deduci ? perdona la mia ignoranza XD
per quanto ti possa sembrare banale non so proprio da dove iniziare, non abbiamo mai fatti di questi esercizi... potresti spiegarmelo per favore ? perchè dici che 1 è elemento neutro del gruppo ? da cosa lo deduci ? perdona la mia ignoranza XD
$1$ è un simbolo per indicare in maniera più agevole $e$ elemento neutro. Esso esiste per definizione di gruppo.
Non vorrei sembrare brusco ma credo che dovresti rileggere un po' la teoria prima di affrontare questi esercizi, altrimenti anche se te lo mostrassi non so fino a che punto lo comprenderesti.
Quella di $1$ è davvero facile infatti essendo esso elemento neutro per definizione si ha che $1 \omega y =y \omega 1$ da cui $1 in C$.
Adesso si tratta di provare che $a omega b in C$ se $a,b in C$.
Valutiamo allora $(a \omega b) \omega y$ essendo associativa $omega$ per definizione, e poichè $b in C$ si ha che è uguale a $a \omega (y \omega b)$. Discorso analogo per $a$ per cui quell'espressione diventa $y \omega (a \omega b)$ da cui $a \omega b in C$
Non vorrei sembrare brusco ma credo che dovresti rileggere un po' la teoria prima di affrontare questi esercizi, altrimenti anche se te lo mostrassi non so fino a che punto lo comprenderesti.
Quella di $1$ è davvero facile infatti essendo esso elemento neutro per definizione si ha che $1 \omega y =y \omega 1$ da cui $1 in C$.
Adesso si tratta di provare che $a omega b in C$ se $a,b in C$.
Valutiamo allora $(a \omega b) \omega y$ essendo associativa $omega$ per definizione, e poichè $b in C$ si ha che è uguale a $a \omega (y \omega b)$. Discorso analogo per $a$ per cui quell'espressione diventa $y \omega (a \omega b)$ da cui $a \omega b in C$
effettivamente l'elemento neutro era molto semplice da dimostrare mi è sembrato solo strano il fatto che lo indicassi cn 1 perchè l ho sempre indicato con e...cmq si devo rivedere la teoria ma ora sto iniziando a capire...sei stato molto chiaro...una volta dimostrato che a $\omega$ b appartengono a C e dimostrato anche che esiste l elemento neutro rimarrebbe da dimostrare solo l'esistenza dell'elemento simmetrico vero ?
Sì (mi era passato di mente in realtà!). Beh anche questo è semplice infatti $a^(-1) \omega y = (y^(-1) \omega a)^(-1)=(a omega y^(-1))^(-1)=y omega a^(-1)$
grazie mille sei stato gentilissimo e molto chiaro !!! 
grazie !!! penso d aver capito come procedere per questi esercizi... questo è un forum utilissimo complimenti bel lavoro
grazie !!! penso d aver capito come procedere per questi esercizi... questo è un forum utilissimo complimenti bel lavoro
Mi fa piacere ti sia stato utile. Buono studio
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