Esercizi su classi di equivalenza ed insieme quoziente
Ciao a tutti.
Ho un po di problemi con le classi di equivalenza. Non so mai come fare per determinarle; tutti mi dicono "Basta che applichi la definizione". Ma non mi pare che sia così.
Vi scrivo questi due parti di esercizio. Qualcuno sa spiegarmi bene come fare?
es 1.
Sia G un gruppo ciclico di ordine 20.
Sia $\Phi : G \rightarrow G $ defnita ponendo $\Phi(g)=g^{7}, \forall g \in G$
Si definisca in G una relazione di equivalenza R ponendo x R y $hArr$ se $\EE$ un $n \in \NN$ tale che $y=\Phi^{n} (x)$
Si provi che R è una relazione di equivalenza in G e se ne determino le classi e l'insieme quoziente G/R.
es 2.
Sia G un gruppo abeliano e sia n un intero fissato. Si definisca in G la relazione R ponendo
a R b $\hArr a\^n=b\^n$
Si verifichi che una e una sola classe di equivalenza è un sottogruppo K di G e che le classi di equivalenza soo tutti e soli i laterali di K in G.
P.S.: ho un altro piccolo problema. Quando scrivo un post una volta che sono andato oltre una certa lunghezza faccio fatica a scrivere perchè ho la barra di scorrimento della finestra di scritture (quellla a destra per salire o scendere) continua ad andare ripetutamente su e giù. Uqlcuno sa dirmi perchè? non è la prima volta che mi capita. Infatti mi scuso per evenutali errori di battitura ma faccio è quasi impossibile scrivere. Ad ogni lettera la barra sale e scende come vuole.
Grazie
Ho un po di problemi con le classi di equivalenza. Non so mai come fare per determinarle; tutti mi dicono "Basta che applichi la definizione". Ma non mi pare che sia così.
Vi scrivo questi due parti di esercizio. Qualcuno sa spiegarmi bene come fare?
es 1.
Sia G un gruppo ciclico di ordine 20.
Sia $\Phi : G \rightarrow G $ defnita ponendo $\Phi(g)=g^{7}, \forall g \in G$
Si definisca in G una relazione di equivalenza R ponendo x R y $hArr$ se $\EE$ un $n \in \NN$ tale che $y=\Phi^{n} (x)$
Si provi che R è una relazione di equivalenza in G e se ne determino le classi e l'insieme quoziente G/R.
es 2.
Sia G un gruppo abeliano e sia n un intero fissato. Si definisca in G la relazione R ponendo
a R b $\hArr a\^n=b\^n$
Si verifichi che una e una sola classe di equivalenza è un sottogruppo K di G e che le classi di equivalenza soo tutti e soli i laterali di K in G.
P.S.: ho un altro piccolo problema. Quando scrivo un post una volta che sono andato oltre una certa lunghezza faccio fatica a scrivere perchè ho la barra di scorrimento della finestra di scritture (quellla a destra per salire o scendere) continua ad andare ripetutamente su e giù. Uqlcuno sa dirmi perchè? non è la prima volta che mi capita. Infatti mi scuso per evenutali errori di battitura ma faccio è quasi impossibile scrivere. Ad ogni lettera la barra sale e scende come vuole.
Grazie
Risposte
Vediamo il primo:
per come è definita la tua applicazione dire $Phi^n(x)=x^(7^n)$, quindi due elementi sono in relazione se $y=x^(7^n)$.
Allora considera il gruppo ciclico come $ZZ_(20)$, allora $[1]$ è ridotta al solo $1$, poichè nessun altro numero diverso da sè è esprimibile in quella maniera.
Calcoliamo ora $[2]$ sarà data, al variare di $ninNN$ dagli elementi del tipo $2^(7^n)$, quindi avrai ovviamente $2$, $2^7$, $2^(49)$ etc... considera che è un gruppo ciclico, quindi gli elementi devi considerarli modulo $20$.
Sfrutta per calcolarli le proprietà delle congruenze, e ricorda che le classi di equivalenza sono tra loro tutte disgiunte...
per come è definita la tua applicazione dire $Phi^n(x)=x^(7^n)$, quindi due elementi sono in relazione se $y=x^(7^n)$.
Allora considera il gruppo ciclico come $ZZ_(20)$, allora $[1]$ è ridotta al solo $1$, poichè nessun altro numero diverso da sè è esprimibile in quella maniera.
Calcoliamo ora $[2]$ sarà data, al variare di $ninNN$ dagli elementi del tipo $2^(7^n)$, quindi avrai ovviamente $2$, $2^7$, $2^(49)$ etc... considera che è un gruppo ciclico, quindi gli elementi devi considerarli modulo $20$.
Sfrutta per calcolarli le proprietà delle congruenze, e ricorda che le classi di equivalenza sono tra loro tutte disgiunte...
"Lory314":https://www.matematicamente.it/forum/fin ... 45368.html
P.S.: ho un altro piccolo problema. Quando scrivo un post una volta che sono andato oltre una certa lunghezza faccio fatica a scrivere perchè ho la barra di scorrimento della finestra di scritture (quellla a destra per salire o scendere) continua ad andare ripetutamente su e giù. Uqlcuno sa dirmi perchè? non è la prima volta che mi capita. Infatti mi scuso per evenutali errori di battitura ma faccio è quasi impossibile scrivere. Ad ogni lettera la barra sale e scende come vuole.
Grazie
"mistake89":
Vediamo il primo:
per come è definita la tua applicazione dire $Phi^n(x)=x^(7^n)$, quindi due elementi sono in relazione se $y=x^(7^n)$.
Allora considera il gruppo ciclico come $ZZ_(20)$, allora $[1]$ è ridotta al solo $1$, poichè nessun altro numero diverso da sè è esprimibile in quella maniera.
Calcoliamo ora $[2]$ sarà data, al variare di $ninNN$ dagli elementi del tipo $2^(7^n)$, quindi avrai ovviamente $2$, $2^7$, $2^(49)$ etc... considera che è un gruppo ciclico, quindi gli elementi devi considerarli modulo $20$.
Sfrutta per calcolarli le proprietà delle congruenze, e ricorda che le classi di equivalenza sono tra loro tutte disgiunte...
Ok adesso mi è chiaro come fare in questo caso e sono riuscito a determinarle. Ma mi pare che nel tuo procedimento ci sia qualcosa da chiarire. G è un gruppo ciclico e quindi sarà $G={g\^0=1_(G),g,g\^2,...g\^19}$ e quindi le sue classi di equivalenza saranno del tipo $[g\^0=1_(G)]$,$[g\^0=g]$,$[g\^2]$,... e non del tipo $[1]$,$[2]$,$[3]$,...Mi sbaglio?
Effettivamente in questo caso bastava applicare la definizione e provare tutti i possibili tentativi e mi andava abbastanza bene che gli elementi fossero solo 20 e che il gruppo fosse ciclico. Ma se non fosse così? Ad esempio nel secondo esercizio che ho scritto:
Osservo che $[a^0=1_(G)]={x \in G : x R 1_(G)}={x \in G : x\^n=1_(G)\^n}={x \in G : x\^n=1_(G)}={1_G}$;
Però poi
$[a]={x \in G : x R a)}={x \in G : x\^n=a\^n}=...$..???
Un gruppo ciclico di ordine $20$ è quello che hai scritto tu, ma io per fare un esempio concreto ho supposto che fosse $ZZ_20$, gruppo ciclico di ordine $20$.
Quanto al secondo esercizio non ho avuto ancora tempo di vederlo per bene!
Quanto al secondo esercizio non ho avuto ancora tempo di vederlo per bene!
L'ho riletta meglio, l'ho fatta di fretta, quindi magari controlla per bene ciò che ti sto per dire.
$a^n=b^n$ dividendo tutto per $b^n$ otteniamo $(a/b)^n=1$, ciò $a=b$, quindi due elementi sono in relazione solo se sono uguali. Abbiamo perciò che le classi di equivalenza sono ridotte al singolo elemento.
Pertanto solo una di esse è un sottogruppo di $G$, e precisamente la classe $K=[1]$, perchè è l'unica che contiene l'elemento neutro, ed inoltre è banalmente chiusa con l'operazione del gruppo.
Inoltre è facile vedere che preso $ainG$ $a=1*a$, cioè $a=K*a$ cioè ciò che dovevamo provare.
$a^n=b^n$ dividendo tutto per $b^n$ otteniamo $(a/b)^n=1$, ciò $a=b$, quindi due elementi sono in relazione solo se sono uguali. Abbiamo perciò che le classi di equivalenza sono ridotte al singolo elemento.
Pertanto solo una di esse è un sottogruppo di $G$, e precisamente la classe $K=[1]$, perchè è l'unica che contiene l'elemento neutro, ed inoltre è banalmente chiusa con l'operazione del gruppo.
Inoltre è facile vedere che preso $ainG$ $a=1*a$, cioè $a=K*a$ cioè ciò che dovevamo provare.
"mistake89":Beh no: in un gruppo abeliano $x^n=1$ non implica $x=1$.
$a^n=b^n$ dividendo tutto per $b^n$ otteniamo $(a/b)^n=1$, ciò $a=b$
Chiedo scusa avevo letto infinito!
"mistake89":Era lo stesso: esistono gruppi infiniti con un sacco di elementi di ordine finito, per esempio $C_2^{NN}$ ($|NN|$ copie di $C_2$), o il gruppo delle radici di 1 in $CC$ (e questi addirittura non hanno elementi di ordine infinito), oppure il prodotto diretto di un gruppo finito con un qualsiasi gruppo infinito.
Chiedo scusa avevo letto infinito!
"Martino":Era lo stesso: esistono gruppi infiniti con un sacco di elementi di ordine finito, per esempio $C_2^{NN}$ ($|NN|$ copie di $C_2$), o il gruppo delle radici di 1 in $CC$ (e questi addirittura non hanno elementi di ordine infinito), oppure il prodotto diretto di un gruppo finito con un qualsiasi gruppo infinito.[/quote]
[quote="mistake89"]Chiedo scusa avevo letto infinito!
Ok allora errore in pieno!
Chiedo nuovamente scusa per le cose sbagliate scritte sopra a Lory
Mi sono accorto che quanto ho scritto prima è sbagliato.
Avevo scritto
Osservo che $[a\^0=1_(G)]={x \in G : x R 1_(G) } = {x \in G: x\^n=1_(G)\^n}={x \in G : x\^n =1 _(G) }={1_(G)} $, ma l'ultimo passaggio è sbagliato.
Ora stavo pensando a questa cosa:
$[a\^0=1_(G)]={x \in G : x R 1_(G) } = {x \in G : x\^n=1_(G)\^n}={x \in G : x\^n =1 _(G) }={x \in G : o(x) | n}$, dove con $o(x)$ intendo l'ordine di x.
A questo punto avrei che la classe di un generico elemento a è
$[a]={x \in G : x R a } = {x \in G : x\^n=a\^n}={x \in G : (x a^(-1))\^n =1 _(G) }={x \in G : o(x a^(-1)) | n}$.
Però ora non saprei come continuare.
Avevo scritto
Osservo che $[a\^0=1_(G)]={x \in G : x R 1_(G) } = {x \in G: x\^n=1_(G)\^n}={x \in G : x\^n =1 _(G) }={1_(G)} $, ma l'ultimo passaggio è sbagliato.
Ora stavo pensando a questa cosa:
$[a\^0=1_(G)]={x \in G : x R 1_(G) } = {x \in G : x\^n=1_(G)\^n}={x \in G : x\^n =1 _(G) }={x \in G : o(x) | n}$, dove con $o(x)$ intendo l'ordine di x.
A questo punto avrei che la classe di un generico elemento a è
$[a]={x \in G : x R a } = {x \in G : x\^n=a\^n}={x \in G : (x a^(-1))\^n =1 _(G) }={x \in G : o(x a^(-1)) | n}$.
Però ora non saprei come continuare.
...sperando di non dire di nuovo cose sbagliate!
Sia $ninNN$. Allora considerata la relazione $a^n=b^n$ calcolo la classe di $1$. Cioè gli elementi $ainG$ tali che $a^n=1$. Cioè $K=[1]$ è formata dagli elementi che hanno periodo un divisore di $n$.
Allora, presi due elementi $a,binK$ si ha che $a^n=b^n$, $(ab^(-1))^n=1$ cioè l'ordine $ab^(-1)$ è un divisore di $n$ pertanto apparterrà a $K$. Abbiamo provato che $K$ è un sottogruppo, grazie alla caratterizzazione dei sottogruppi. Inoltre poichè $K$ possiede $1$, e ricordando che una relazione di equivalenza partiziona, abbiamo che $K$ è l'unico sottogruppo di $G$.
consideriamo ora due altri elementi $c,d$ non appartenenti a $K$ ma che siano in relazione tra loro. Allora si avrà $(cd^(-1))^n=1$, cioè il periodo di $cd^(-1)$ divide $n$ pertanto $cd^(-1)$ appartiene a $K$, definendo così la stessa relazione che definisce i laterali.
Scritta meglio: se $c,d$ appartengono alla stessa classi di equivalenza indotta da $R$, $cd^(-1)inK$, cioè le classi di equivalenza coincidono con i laterali.
Spero di non aver sbagliato di nuovo!
Sia $ninNN$. Allora considerata la relazione $a^n=b^n$ calcolo la classe di $1$. Cioè gli elementi $ainG$ tali che $a^n=1$. Cioè $K=[1]$ è formata dagli elementi che hanno periodo un divisore di $n$.
Allora, presi due elementi $a,binK$ si ha che $a^n=b^n$, $(ab^(-1))^n=1$ cioè l'ordine $ab^(-1)$ è un divisore di $n$ pertanto apparterrà a $K$. Abbiamo provato che $K$ è un sottogruppo, grazie alla caratterizzazione dei sottogruppi. Inoltre poichè $K$ possiede $1$, e ricordando che una relazione di equivalenza partiziona, abbiamo che $K$ è l'unico sottogruppo di $G$.
consideriamo ora due altri elementi $c,d$ non appartenenti a $K$ ma che siano in relazione tra loro. Allora si avrà $(cd^(-1))^n=1$, cioè il periodo di $cd^(-1)$ divide $n$ pertanto $cd^(-1)$ appartiene a $K$, definendo così la stessa relazione che definisce i laterali.
Scritta meglio: se $c,d$ appartengono alla stessa classi di equivalenza indotta da $R$, $cd^(-1)inK$, cioè le classi di equivalenza coincidono con i laterali.
Spero di non aver sbagliato di nuovo!
"mistake89":
consideriamo ora due altri elementi $c,d$ non appartenenti a $K$ ma che siano in relazione tra loro. Allora si avrà $(cd^(-1))^n=1$, cioè il periodo di $cd^(-1)$ divide $n$ pertanto $cd^(-1)$ appartiene a $K$, definendo così la stessa relazione che definisce i laterali.
Scritta meglio: se $c,d$ appartengono alla stessa classi di equivalenza indotta da $R$, $cd^(-1)inK$, cioè le classi di equivalenza coincidono con i laterali.
La prima parte della dimostrazione mi è chiara. Io mi ostinavo a cercare tutte le classi di equivalenza e tra quelle determinare quale era un sottogruppo. Invece leggendo bene la tesi "una e una sola classe di equivalenza è sottogruppo "mi "bastava" determinarne una, vedere che era sottogruppo e dimostrare che è unica. Però la seconda parte non mi è ancora chiara. Intuitivamente un pò ho capito dove vuoi andare a parare ma non riesco a formalizzare bene la cosa. Grazie comunque. Il tuo aiuto è stato molto utile.
Mi aiuti a capire cosa non ti è chiaro? Così posso provare a spiegarmi meglio.
Sai cosa sono le classi laterali e la relazione che le definisce?
Sia $G$ un gruppo e $K$ un suo sottogruppo.
Se si definisce una relazione così fatta:
$x\rho_d y hArr xy^(-1)inK$
e similmente
$x\rho_s y hArr y^(-1)x inK$
Le classi di equivalenza così determinate si chiamano classi laterali destre (o sinistre) di $K$.
Se guardi per bene non è altro che ciò che siamo riusciti a provare dalla tua relazione di equivalenza.
Sai cosa sono le classi laterali e la relazione che le definisce?
Sia $G$ un gruppo e $K$ un suo sottogruppo.
Se si definisce una relazione così fatta:
$x\rho_d y hArr xy^(-1)inK$
e similmente
$x\rho_s y hArr y^(-1)x inK$
Le classi di equivalenza così determinate si chiamano classi laterali destre (o sinistre) di $K$.
Se guardi per bene non è altro che ciò che siamo riusciti a provare dalla tua relazione di equivalenza.
Ho riletto con più calma la dimostrazione e adesso torna anche questo punto. Grazie mille.
è stato un piacere ed è stato divertente anche per me risolvere questo esercizio!
Beato te che trovi divertente l'algebra.
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