Esercizi sottogruppi di un gruppo arbitrario.
Salve a tutti,
posto qui lo svolgimento del mio esercizio e per cortesia mi piacerebbe sapere se è giusto o meno.
Traccia:
Sia G un gruppo. Provare il seguente:
siano H e K sottogruppi di G. Se \(\displaystyle H \subseteq K \), allora H è un sottogruppo di K.
Svolgimento:
abbiamo che ogni elemento di H è anche elemento di K.
Poichè i sottogruppi sono anche gruppi, è giusto considerare anche il seguente:
il sottogruppo H del gruppo G è sottoinsieme del gruppo K.
K è sottogruppo di G, perciò l'operazione di K è la stessa di G. Ma abbiamo che anche H è sottogruppo di G, perciò anche l'operazione di H è la stessa di G. Questo implica che H,K hanno la stessa operazione.
si verificano le seguenti:
i) H è sottoinsieme non vuoto di K. Essendo sottogruppi essi hanno almeno l'elemento neutro in comune;
ii) H è chiuso rispetto alla stessa operazione di K, e poiche H sottoinsieme di K abbiamo: \(\displaystyle ab \in H \Rightarrow ab \in K \);
iii) H è chiuso rispetto agli inversi, e poiche H sottoinsieme di K abbiamo: \(\displaystyle a,a^{-1} \in H \Rightarrow a,a^{-1} \in K \)
perciò abbiamo che H è sottogruppo di K.
La situazione potrebbe essere rappresentata graficamente nel modo seguente:
è corretto? spero possiate aiutarmi.
grazie mille!
posto qui lo svolgimento del mio esercizio e per cortesia mi piacerebbe sapere se è giusto o meno.
Traccia:
Sia G un gruppo. Provare il seguente:
siano H e K sottogruppi di G. Se \(\displaystyle H \subseteq K \), allora H è un sottogruppo di K.
Svolgimento:
abbiamo che ogni elemento di H è anche elemento di K.
Poichè i sottogruppi sono anche gruppi, è giusto considerare anche il seguente:
il sottogruppo H del gruppo G è sottoinsieme del gruppo K.
K è sottogruppo di G, perciò l'operazione di K è la stessa di G. Ma abbiamo che anche H è sottogruppo di G, perciò anche l'operazione di H è la stessa di G. Questo implica che H,K hanno la stessa operazione.
si verificano le seguenti:
i) H è sottoinsieme non vuoto di K. Essendo sottogruppi essi hanno almeno l'elemento neutro in comune;
ii) H è chiuso rispetto alla stessa operazione di K, e poiche H sottoinsieme di K abbiamo: \(\displaystyle ab \in H \Rightarrow ab \in K \);
iii) H è chiuso rispetto agli inversi, e poiche H sottoinsieme di K abbiamo: \(\displaystyle a,a^{-1} \in H \Rightarrow a,a^{-1} \in K \)
perciò abbiamo che H è sottogruppo di K.
La situazione potrebbe essere rappresentata graficamente nel modo seguente:
è corretto? spero possiate aiutarmi.
grazie mille!
Risposte
Mi pare sia corretto, circa le tue osservazioni su H come sottogruppo di G ti ricordo questo fatto:
Sia $G$ un gruppo, allora $H$ è sottogruppo di $G$ se e solo se $H$ è un gruppo rispetto all'operazione indotta da $G$.
Sia $G$ un gruppo, allora $H$ è sottogruppo di $G$ se e solo se $H$ è un gruppo rispetto all'operazione indotta da $G$.
"iDesmond":
se e solo se H è un gruppo rispetto all'operazione indotta da G
puoi spiegarmi meglio questo punto? grazie.
Un operazione definita in un gruppo non è altro che una applicazione:
Se ho un gruppo $G$, in cui è definita l'operazione $--$, allora:
$-- : GxxG -> G$
$(g,h)|->g -- h$
L'operazione indotta non è altro che l'applicazione ristretta al sottoinsieme $H$ di $G$, se $H$ è un gruppo rispetto a quella operazione, allora vale $H
Se ho un gruppo $G$, in cui è definita l'operazione $--$, allora:
$-- : GxxG -> G$
$(g,h)|->g -- h$
L'operazione indotta non è altro che l'applicazione ristretta al sottoinsieme $H$ di $G$, se $H$ è un gruppo rispetto a quella operazione, allora vale $H
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