Esercizi semigruppi, monodi(operazioni in Z)
Si considerano le seguenti operazioni in$Z$
$x*y = x+y+1$
$x◊y = |x|+y$
$xΔy = xy+1$
Ragazzi io ho il seguente esercizi:
Verificare se l'operazione considerata è un semigruppo, l'operazione è commutativa, se esistono elementi neutri a sinistra, a destra, identità , elementi invertibili
Magari posto l'immagine dell'esercizio:
http://imageshack.us/photo/my-images/33/esercizion.jpg/
Per la moltiplicazione cioè x*y, non ho avuto problemi(anche se vorrei capire come verificare se esistono elementi neutri a destra, a sinistra e gli elementi invertibili) ma gli altri simboli che operazioni sono?
Grazie anticipatamente.
$x*y = x+y+1$
$x◊y = |x|+y$
$xΔy = xy+1$
Ragazzi io ho il seguente esercizi:
Verificare se l'operazione considerata è un semigruppo, l'operazione è commutativa, se esistono elementi neutri a sinistra, a destra, identità , elementi invertibili
Magari posto l'immagine dell'esercizio:
http://imageshack.us/photo/my-images/33/esercizion.jpg/
Per la moltiplicazione cioè x*y, non ho avuto problemi(anche se vorrei capire come verificare se esistono elementi neutri a destra, a sinistra e gli elementi invertibili) ma gli altri simboli che operazioni sono?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Le altre due operazioni, sono state "definite" arbitrariamente, come anche sono definite le 4 operazioni fondamentali, lo stesso si può fare per ogni altra operazione...
Per l'esercizio:
1. verifichi l'associatività dell'operazione -> è associativa? dunque è un semigruppo su Z.
2. verifichi la commutatività dell'operazione -> è un semigruppo commutativo.
3. verifichi se esiste l'elemento neutro, un elemento che, se "svolto" nell'operazione a destra, o a sinistra, o a entrambe, non cambia il risultato. Ovvero se esiste E tale che
E ° X, dove X è qualsiasi elemento dell'insieme in cui lavori, tale che E°X = X è un elemento neutro a sinistra.
X°E tale che... è un elemento neutro a destra.
Se è sia a sinistra che a destra E è elemento neutro definibile come "identità".
4. Se esiste un elemento neutro devi verificare se esistano elementi invertibili, ovvero che ammettono un inverso tale che, se moltiplicato a destra o sinistra per quell'elemento X dia l'elemento neutro.
Per l'esercizio:
1. verifichi l'associatività dell'operazione -> è associativa? dunque è un semigruppo su Z.
2. verifichi la commutatività dell'operazione -> è un semigruppo commutativo.
3. verifichi se esiste l'elemento neutro, un elemento che, se "svolto" nell'operazione a destra, o a sinistra, o a entrambe, non cambia il risultato. Ovvero se esiste E tale che
E ° X, dove X è qualsiasi elemento dell'insieme in cui lavori, tale che E°X = X è un elemento neutro a sinistra.
X°E tale che... è un elemento neutro a destra.
Se è sia a sinistra che a destra E è elemento neutro definibile come "identità".
4. Se esiste un elemento neutro devi verificare se esistano elementi invertibili, ovvero che ammettono un inverso tale che, se moltiplicato a destra o sinistra per quell'elemento X dia l'elemento neutro.
Per $x◊y=x+y$ ho proceduto in questo modo:
1) Ho verificato se l'operazione è associativa:
$x◊(y◊z)=(x◊y)◊z$ ???
per $x◊(y◊z)$, ottengo: $|x|+|y|+z$
per $(x◊y)◊z$, ottengo: $||x|+y|+z$,
Quindi non è un semigruppo su Z(non essendo associativo)
2) Per la commutatività ho verificato se: $x◊y=y◊x$
E' VERO, è commutativo.
3) Adesso dovrei verificare se esistono elementi neutri a sinistra, a destra, identità e gli elementi invertibili. Teoricamente ho capito cos'è un elemento neutro ma non riesco ad applicare la teoria a questo esercizio.
Come procedere?
1) Ho verificato se l'operazione è associativa:
$x◊(y◊z)=(x◊y)◊z$ ???
per $x◊(y◊z)$, ottengo: $|x|+|y|+z$
per $(x◊y)◊z$, ottengo: $||x|+y|+z$,
Quindi non è un semigruppo su Z(non essendo associativo)
2) Per la commutatività ho verificato se: $x◊y=y◊x$
E' VERO, è commutativo.
3) Adesso dovrei verificare se esistono elementi neutri a sinistra, a destra, identità e gli elementi invertibili. Teoricamente ho capito cos'è un elemento neutro ma non riesco ad applicare la teoria a questo esercizio.
Come procedere?
Ho ragionato così:
Teoricamente un elemento neutro esiste se: per ogni $x in Z$, Esiste un elemento $u in Z$ tale che $x◊u=x$, giusto?
quindi:
$x◊u=x$ non esiste elemento neutro perchè u dovrebbe essere uguale a y per far si che l'elemento u non "alteri" il risultato.
Correggetemi se sbaglio.
Teoricamente un elemento neutro esiste se: per ogni $x in Z$, Esiste un elemento $u in Z$ tale che $x◊u=x$, giusto?
quindi:
$x◊u=x$ non esiste elemento neutro perchè u dovrebbe essere uguale a y per far si che l'elemento u non "alteri" il risultato.
Correggetemi se sbaglio.
Adesso ho capito. Per far si che x◊u=x, $u$, dev'essere uguale a 0, e l'operazione essendo commutativa non necessita la verifica riguardo all'elemento neutro a sinistra. quindi $u=0$ è un'identità.
Riguardo l'elemento invertibile, devo verificare che per ogni x appartenente a Z, esiste un x' tale che x*x'=u=0.
Quindi:
$|x|+x'=u=0 -> x'=0-|x|$
è così? Oppure sbaglio qualcosa?
Riguardo l'elemento invertibile, devo verificare che per ogni x appartenente a Z, esiste un x' tale che x*x'=u=0.
Quindi:
$|x|+x'=u=0 -> x'=0-|x|$
è così? Oppure sbaglio qualcosa?
Quell'operazione non è commutativa. (E come hai detto te anche non associativa)
|x| + y non è uguale a |y| + x ; per fare un esempio prova con x= -2, y = -3 ;
Allora. Per l'elemento neutro stai ragionando bene ma attenzione! Mentre se io cerco
u ° x = |u| + x = x --> u = 0 è vero! cioè l'elemento neutro a sinistra esiste ed è zero.
Ma l'elemento neutro a destra come facciamo a trovarlo?
Cioè:
|x| + u = x ? <---> x è positivo, u = 0.
Ma se x è negativo?
|-x| + y = -x ; suppongo x negativo ---> x + y = -x ---> y = -2x ---> ovvero ci serve come elemento neutro a destra lo zero, se l'elemento dato è positivo, mentre ci serve il suo doppio se è negativo. Ora non conosco la teoria dei semigruppi, ma sicuramente l'elemento neutro a sinistra esiste ed è unico, mentre quello a destra esiste ma non è unico! In questo caso, dovresti vedere se è ammissibile avere più elementi neutri (a destra o sinistra) o se non lo è.
Io credo che non sia ammissibile intendere entrambi elementi neutri, ma che ve ne sia bisogno che ne esista uno unico... ma dipende tutto da come sono impostate le definizioni, ecc.
Dunque almeno l'elemento neutro a sinistra lo abbiamo trovato.
Ora devi vedere nella teoria se si possano trovare elementi invertibili anche se non vi sia un'identità, ovvero se hai solamente elemento/i neutro/i a destra o a sinistra, anche differenti... nel caso in cui è utile farlo, allora sì, -|x| è l'inverso di x a destra, perchè dà come risultato l'elemento neutro di sinistra...
Però poi devi verificare se esista un elemento inverso a sinistra, e lì mi pare più dura...
Ti ho lasciato con qualche dubbio, eh!
Certo i ragionamenti sono questi, le verifiche anche, dipende tutto dalla teoria, sinceramente...
|x| + y non è uguale a |y| + x ; per fare un esempio prova con x= -2, y = -3 ;
Allora. Per l'elemento neutro stai ragionando bene ma attenzione! Mentre se io cerco
u ° x = |u| + x = x --> u = 0 è vero! cioè l'elemento neutro a sinistra esiste ed è zero.
Ma l'elemento neutro a destra come facciamo a trovarlo?
Cioè:
|x| + u = x ? <---> x è positivo, u = 0.
Ma se x è negativo?
|-x| + y = -x ; suppongo x negativo ---> x + y = -x ---> y = -2x ---> ovvero ci serve come elemento neutro a destra lo zero, se l'elemento dato è positivo, mentre ci serve il suo doppio se è negativo. Ora non conosco la teoria dei semigruppi, ma sicuramente l'elemento neutro a sinistra esiste ed è unico, mentre quello a destra esiste ma non è unico! In questo caso, dovresti vedere se è ammissibile avere più elementi neutri (a destra o sinistra) o se non lo è.
Io credo che non sia ammissibile intendere entrambi elementi neutri, ma che ve ne sia bisogno che ne esista uno unico... ma dipende tutto da come sono impostate le definizioni, ecc.
Dunque almeno l'elemento neutro a sinistra lo abbiamo trovato.
Ora devi vedere nella teoria se si possano trovare elementi invertibili anche se non vi sia un'identità, ovvero se hai solamente elemento/i neutro/i a destra o a sinistra, anche differenti... nel caso in cui è utile farlo, allora sì, -|x| è l'inverso di x a destra, perchè dà come risultato l'elemento neutro di sinistra...
Però poi devi verificare se esista un elemento inverso a sinistra, e lì mi pare più dura...
Ti ho lasciato con qualche dubbio, eh!
Certo i ragionamenti sono questi, le verifiche anche, dipende tutto dalla teoria, sinceramente...
Come esercizio ho svolto l'altra operazione quella che dice X°Y = xy + 1 .
1] Associatività.
X(YZ) = X °(yz + 1) = x(yz + 1) + 1 = xyz + x + 1
(XY)Z = (xy + 1) ° Z = (xy + 1)z + 1 = xyz + z + 1
Dunque non è associativa, quindi non è un semigruppo.
2] Commutatività.
X ° Y = xy + 1
Y ° X = yx + 1
E' commutativa poichè il prodotto di due numeri in Z è commutativo.
3] Elemento neutro.
L'operazione è commutativa, quindi se esistesse un elemento neutro, esso sarà un'identità.
X ° E = X <---> xe + 1 = x <---> xe = x - 1 <----> e = (x - 1)/x
Ora E è un rapporto fra due quantità e nel campo Z non è detto esista sempre, ovvero può esistere ma non per ogni elemento che appartiene in Z, ad esempio se X = 5 , E = 4/5 che non appartiene al campo Z!
Dunque l'elemento neutro esiste ma non per ogni elemento.
4] Siccome che vi sono elementi invertibili, e non invertibili non posso cercare degli elementi inversi a priori, ma devo andare per casi. Un caso analizzabile è ad esempio X = 1 . Per questo valore di X, E = 0, che esiste in Z. Ora posso anche tentare di trovare un elemento inverso che mi dia 0, ovvero un Y tale che (1 ° Y ) = 0 ---> y + 1 = 0 ---> y = -1 è l'elemento inverso di 1.
Però è abbastanza "inutile" cercare un elemento inverso per i soli elementi invertibili. A meno che non riesci a trovare l'insieme degli elementi invertibili tramite qualche stratagemma, allora sarebbe utile...
Sperando di non avere detto idiozie svolgendo l'esercizio... dimmi te! (soprattutto il punto 4, voglio sapere che ne penseresti, e come invece lo svolgeresti tu o il tuo professore...)
1] Associatività.
X(YZ) = X °(yz + 1) = x(yz + 1) + 1 = xyz + x + 1
(XY)Z = (xy + 1) ° Z = (xy + 1)z + 1 = xyz + z + 1
Dunque non è associativa, quindi non è un semigruppo.
2] Commutatività.
X ° Y = xy + 1
Y ° X = yx + 1
E' commutativa poichè il prodotto di due numeri in Z è commutativo.
3] Elemento neutro.
L'operazione è commutativa, quindi se esistesse un elemento neutro, esso sarà un'identità.
X ° E = X <---> xe + 1 = x <---> xe = x - 1 <----> e = (x - 1)/x
Ora E è un rapporto fra due quantità e nel campo Z non è detto esista sempre, ovvero può esistere ma non per ogni elemento che appartiene in Z, ad esempio se X = 5 , E = 4/5 che non appartiene al campo Z!
Dunque l'elemento neutro esiste ma non per ogni elemento.
4] Siccome che vi sono elementi invertibili, e non invertibili non posso cercare degli elementi inversi a priori, ma devo andare per casi. Un caso analizzabile è ad esempio X = 1 . Per questo valore di X, E = 0, che esiste in Z. Ora posso anche tentare di trovare un elemento inverso che mi dia 0, ovvero un Y tale che (1 ° Y ) = 0 ---> y + 1 = 0 ---> y = -1 è l'elemento inverso di 1.
Però è abbastanza "inutile" cercare un elemento inverso per i soli elementi invertibili. A meno che non riesci a trovare l'insieme degli elementi invertibili tramite qualche stratagemma, allora sarebbe utile...
Sperando di non avere detto idiozie svolgendo l'esercizio... dimmi te! (soprattutto il punto 4, voglio sapere che ne penseresti, e come invece lo svolgeresti tu o il tuo professore...)
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