Esercizi - Relazioni binarie

[viger77]

sono nuovo del forum e vorrei chiedervi un aiuto per cercare di capire le relazioni binarie,ora vi posto il mio raggionamento su questi esercizi,
vorrei chiedervi se è corretto oppure se non ci ho capito nulla.

1. Ciascuno dei seguenti insiemi è il grafico di una relazione binaria in Z. Studiare le relazioni così definite,
stabilendo per ciascuna di essa se si tratta di una relazione riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica,
antiriflessiva, di una relazione d’equivalenza, di un ordinamento.

a. {(n,m) ∈ Z × Z | n + m è pari};

per il punto a cedo che sia:

riflessiva
perchè se prendo un elemento pari del insieme Z e lo addiziono a se stesso e sempre pari
se ne prendo uno dispari e lo addiziono a se stesso e sempre pari

non è simmetrica
perchè se prendo due numeri diversi tipo 3 e 4
3+4=7 ed è anche vero l'inverso cioè che 4+3=7 ma non è sempre pari quindi ne deduco che non valga la simmetira
perchè non vale la relazione (e qui ho un pò di dubbi sul mio raggionamento)


non è transitiva
perchè se prendo tre numeri da z cioè 2, 3, 4
2+3=5 ,3+4=7 ; ma 2+4=6 che è diverso da 7

ditemi se non ci ho capito nulla oppure se hpo raggionato bene

grazie a tutti

[cirasa]

Benvenuto nel forum. Innanzitutto ti invito ad usare le formule come da regolamento, in modo che i tuoi post siano più leggibili.

Ed ora veniamo a noi.
- Riflessiva: ok. Per ogni $n\in\mathbb{Z}$, $n$ è in relazione con se stesso, perchè, sia nel caso $n$ pari, sia nel caso $n$ dispari, si ha che $n+n$ è pari.
- Simmetrica:
Prendiamo $n,m\in\mathbb{Z}$ e supponiamo che $n$ sia in relazione con $m$, cioè $n+m$ è pari. Allora si può concludere che $m$ è in relazione con $n$?
Sì, perchè se $n+m$ è pari, è ovvio che anche $m+n$ è pari!
Quindi è simmetrica.
- Transitiva:
Prendiamo $n,m,k\in\mathbb{Z}$ con $n$ in relazione con $m$ ed $m$ in relazione con $k$, cioè $n+m$ e $m+k$ sono pari.
Si può concludere che $n$ è in relazione con $k$? Ovvero $n+k$ è pari?
Lascio concludere te. La risposta è sì (relazione transitiva) oppure no?
Suggerimento:
$n+k=n+k+2m-2m=(n+m)+(m+k)-2k$

Fammi sapere se c' è qualcosa che non va...ciao!

[viger77]

ok forse ho capito dove sbagliavo

vediamo se cosi va meglio
allora il punto a mi definisce il mio grafo

che sarà formato da tutte le coppie ordinate che rispettano la relazione che la loro somma è pari
ed il raggionamento lo devo fare su queste coppie e non sugli elementi di Z

quindi rivedendo il tutto

a. {(n,m) ∈ Z × Z | n + m è pari};

il mio grafo sara formato da tutte le coppie ordinate del tipo
il primo elemento uguale al secondo esempio (1,1) (2,2) ecc....
e dalle coppie in cui i deu elementi sono pari tipo (2,4), (6,8) ecc....
e dalle coppie in cui gli elementi sono tutte e due dispari (3,5) (5,7) ecc...
e non dalle coppie con un elemento dispari e uno pari o viceversa perchè la loro somma darebbe un numero dispari

allora su questa ipotesi la nostra relazione e
riflessiva
perchè ogni elemento del nostro grafo è in relazione con se stesso
infatti abbiamo tutte le coppie ordiante del tipo (1,1) (2,2,) (3,3) ecc....

e simmetrica
perchè se prendo ogni coppia dal nostro garfo si verifica che n+m = m+n
esempio la coppia (3,5) 3+5=5+3

non è antisimmetrica
perchè e simmetrica ma non sempre i due valori delle coppie sono uguali

è trasitiva perchè se prendo due coppie
che rispettano la relazione che n+m ^ m+z implica che n+z siano pari
se prendo la coppia (2,4) e la coppia (4,2)
quindi 2+4 =6 è pari, 4+2 =6 è pari e 2+2 =4 e pari


quindi il punto a e riflessivo , simmetrico e riflessivo
quindi è una relazione di equivalenza

corregetemi se ho sbagliato

scusate per le formule ma sono i mie primi due post cerchero di impararle al più presto
anzi se potete postarmi un link dove spiega come usarle mi fareste un grande piacere
vi ringrazio e scusatemi se mi sono dilungato

[cirasa]

"viger77":
quindi il punto a e riflessivo , simmetrico e riflessivo
quindi è una relazione di equivalenza

Immagino sia stata una svista.
Se intendevi dire: la relazione $a$ è riflessiva, simmetrica e transitiva. Quindi è una relazione di equivalenza.
Allora sì, va bene.

Per scrivere per bene, usa il link https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[viger77]

si scusami,


grazie molte

[cirasa]

Prego!

[viger77]

ora posto il resto degli esercizi
mi dite se le mie risposte sono corrette o sbagliate

b) ${(n,m) in ZZ X ZZ |$ $ n = m ^^^ n+m$ è multiplo di $ 3 }$ secondo me è riflessiva,simmetrica, antitrasitiva,quindi non è ne una relazione
di equivalenza e ne di un ordinamento.

c) ${(n,m) in ZZ X ZZ | n<3m }$ secondo me è riflessiva, asimmetrica, antitransitiva quindi non è ne una relazione
di equivalenza e ne di un ordinamento.

d) ${(n,m) in ZZ X ZZ | n^2 di equivalenza e ne di un ordinamento.

e) ${(n,m) in ZZ X ZZ | n^2<=m^2 }$ secondo me è riflessiva, asimmetrica,trasitiva,quindi è un preordine

se volete vi posto anche i raggionamenti.

grazie ancora

[Gatto891]

Un pò di confusione l'hai fatta... perchè non provi a postare per una delle lettere, insieme alle risposte, anche i ragionamenti?

Per esempio, la $b$ non è antitransitiva perchè $3 \sim 6$, $6 \sim 9$ e $3 \sim 9$ (ma si vede subito anche che non è nemmeno transitiva).

La $c$ non è riflessiva perchè $-1 > -3$, non è nè asimmetriva nè antitransitiva e come controesempio ti basta prendere rispettivamente $n=m>0$ e $n=m=t>0$

[viger77]

forse ho capito
io usavo la parola antitransitiva per indicare una relazione che non è transitiva
puoi dirmi la differenza tra il non essere transitiva e l'antitransitività
ora posto per ogni lettera il ragionamento
grazie ancora

[viger77]

per la b
${(n,m) in ℤXℤ| n=m^^^n+m$ è multiplo di $3}$

questo grafo è formato da tutte le coppie del tipo (1,1) (2,2) ecc
e dalle coppie tipo (1,2) (2,1) (7,2) ecc cioè che la loro somma è un multiplo si 3

e riflessiva perchè ogni elemento e in relazione con se stesso infatti sono presenti tutte le coppie del tipo (1,1)(2,2) ecc

e simmetrica perchè per ogni coppia (n,m) risulta vera o la relazione n=m e viceversa m=n
oppure la relazione che la somma e multiplo di 3 tipo cioè n+m=m+n esepio la coppia (2,7) 2+7=7+2=multiplo di 3

e non è trasitiva perchè presi tre elementi tipo la coppia (7,2) e la coppia (2,25) si vede subito che 7 non è in relazione con 25

non è antisimmetrica perche anche se e vera la simmetria non rispetta la condizione che per tutte le coppie vale che n=m


per la c
${(n,m) in ℤXℤ| n<3m}$

e riflessiva perchè ogni elemento e in relazione con se stesso infatti sono presenti tutte le coppie del tipo $(1,1)(2,2)$ ecc

e asimmetrica perchè per ogni coppia $(n,m)$ non è vero che se $n<3m$ anche $3m per esempio se prendo al coppia $(2,1)$ risulta 2<3 che è vera, ma non è vera che 3<2

è trasitiva perchè presi tre elementi tipo la coppia (3,2) e la coppia (2,2) si vede subito cheche 3 è in relazione con 2

non è antisimmetrica

quindi è un preordine perchè vale sia la riflessività e la transitività

per la d

${(n,m) in ℤXℤ| n^2
non è riflessiva (quando una relazione non è riflessiva si dice irriflessiva o antiriflessiva?)
perchè ogni elemento non è in relazione con se stesso infatti non sono presenti tutte le coppie del tipo (1,1)(2,2) ecc

e asimmetrica perchè per ogni coppia (n,m) non risulta vera la relazione $n^2 per esempio la coppia (2,3)

è trasitiva perchè presi tre elementi tipo la coppia (2,3) e la coppia (3,4) si vede subito che 2 è in relazione con 4

non è antisimmetrica

ultima per la e


${(n,m) in ℤXℤ| n^2<=m^2}$

è riflessiva perchè ogni elemento è in relazione con se stesso infatti sono presenti tutte le coppie del tipo (1,1)(2,2) ecc

e asimmetrica perchè per ogni coppia (n,m) non risulta vera la relazione $n^2<=m^2$ e viceversa $m^2 per esempio la coppia (2,3)

è trasitiva perchè presi tre elementi tipo la coppia (2,3) e la coppia (3,4) si vede subito che 2 è in relazione con 4

non è antisimmetrica

quindi valendo transitività e riflessività e un preordine

grazie ancora a tutti per l'aiuto
ora potete dirmi dove sbaglio grazie

[viger77]

Scusatemi per l'insistenza
non volgio essere spiegato gli esercizi però qualcuno può dirmi
se ho raggionato bene oppure se non ho capito affatto le relazioni binarie
e quindi cercare approfondimenti?

vi ringrazio ancora per la disponibilità

[cirasa]

"viger77":per la b
${(n,m) in ℤXℤ| n=m^^^n+m$ è multiplo di $3}$

questo grafo è formato da tutte le coppie del tipo (1,1) (2,2) ecc
e dalle coppie tipo (1,2) (2,1) (7,2) ecc cioè che la loro somma è un multiplo si 3.

No. E' formato da tutte le coppie $(n,m)$ tali che vale SIA $n=m$ SIA $n+m$ multiplo di $3$ (c'è il connettivo $^^^$ che significa "e")
Quindi, per esempio
$(1,1)$ no ($1+1$ non è multiplo di $3$)
$(3,3)$ sì ($3=3$ e $3+3$ è multiplo di $3$)
$(1,2)$ no ($1+2$ è multiplo di $3$ MA $1\ne2$)

Quindi cambia un po' tutto. Prova a verificare. Se non ho sbagliato, questa dovrebbe essere non riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva.

Dammi un po' di tempo e ti dico se hai commesso errori anche nelle altre relazioni.

[cirasa]

"viger77":
per la c
${(n,m) in ℤXℤ| n<3m}$

"viger77":
e riflessiva perchè ogni elemento e in relazione con se stesso infatti sono presenti tutte le coppie del tipo $(1,1)(2,2)$ ecc

Purtroppo no. Perchè non tutti gli elementi $n$ di $ZZ$ sono in relazione con se stessi. Vedi per esempio $n=0$ oppure $n=-1$ (e in generale tutti gli interi negativi). $-1$ non è in relazione con $-1$, perchè $-1\ge-3=3(-1)$.

"viger77":
e asimmetrica perchè per ogni coppia $(n,m)$ non è vero che se $n<3m$ anche $3m per esempio se prendo al coppia $(2,1)$ risulta 2<3 che è vera, ma non è vera che 3<2

Ok. Non è simmetrica. Ma per verificarlo devi dire che: per ogni coppia $(n,m)$ non è vero che se $n<3m$ anche $m<3n$ (e non $3m

"viger77":
è trasitiva perchè presi tre elementi tipo la coppia (3,2) e la coppia (2,2) si vede subito cheche 3 è in relazione con 2

Per dimostrare che è transitiva, dovresti far vedere che PER OGNI $n,m,k$ tali che $n<3m$ e $m<3k$ si ha che $n<3k$. E non solo nel caso particolare $(3,2)$ e $(2,2)$.
Per esempio con $(5,2)$, $(2,1)$ non funziona: $5$ è in relazione con $2$, $2$ è in relazione con $1$, ma $5$ NON è in relazione con $1$!
Quindi non è transitiva.

[viger77]

ti ringrazio davvero tanto
ok continuero a raggionarci sopra
ora credo di aver capito come fare

ancora grazie