ESERCIZI POLINOMI
ciao a tutti
vi chiedo un grosso aiuto:
ho questi esercizi sui polinomi che proprio non riesco a risolvere(non sono l'unico)
1)Sia f appartenente a Z3[x] un multiplo di x3-x.
i) Verificare che f ammette come radici tutti gli elementi di 3.
ii) Viceversa, verificare che ogni polinomio in 3[x] che ammetta come
radici tutti gli elementi di 3 è multiplo di x3-x.
2)Determinare per quale c appartenente a Z7 il polinomio x3+ c x- 1 Z7[x] è divisibile
per x- 2 .
3)Nell’anello 5[x] si costruisca un polinomio f di grado 4 che ammetta come radici
1, 2 e - 1 e che sia divisibile per x2+x+ 3
spero che possiate aiutarmi, ma anche aiutare gli altri mostrando come si svolgono quest esercizi
grazie anticipatamente
vi chiedo un grosso aiuto:
ho questi esercizi sui polinomi che proprio non riesco a risolvere(non sono l'unico)
1)Sia f appartenente a Z3[x] un multiplo di x3-x.
i) Verificare che f ammette come radici tutti gli elementi di 3.
ii) Viceversa, verificare che ogni polinomio in 3[x] che ammetta come
radici tutti gli elementi di 3 è multiplo di x3-x.
2)Determinare per quale c appartenente a Z7 il polinomio x3+ c x- 1 Z7[x] è divisibile
per x- 2 .
3)Nell’anello 5[x] si costruisca un polinomio f di grado 4 che ammetta come radici
1, 2 e - 1 e che sia divisibile per x2+x+ 3
spero che possiate aiutarmi, ma anche aiutare gli altri mostrando come si svolgono quest esercizi
grazie anticipatamente
Risposte
ti scrivo la mia possibile soluzione prima di andare a letto, quindi perdonami eventuali errori di calcolo.
per il primo esercizio è abbastanza banale:
$->$ se $f(x)=g(x)(x^3-x)$ è banale che $f(0)=f(1)=f(2)=0$
$<-$ se $f(0)=f(1)=f(2)=0$ allora si ha che nella fattorizzazione di $f$ vi sono i fattori $(x-0)(x-1)(x-2)=x^3-x$ quindi si ha che $f(x)=g(x)(x^3-x)$ con il grado di $g$ maggiore o uguale a zero a seconda se $f$ abbia esattamente grado $3$ oppure maggiore.
per il secondo basta fare una semplice divisione fra polinomi e si deve imporre che il resto sia nullo... e il resto della divisione fra $x^3+cx-1$ e $x-2$ risulta essere $2c$ allora si ha la semplice congruenza $2c=0$ $mod(7)$ se e solo se $c=0$ $mod(7)$
per il terzo vuoi trovare un polinomio del tipo $f(x)=(x-a)(x-1)(x-2)(x+1)$ con $a\inZZ_5$ da determinare e a questo punto fai la divisione per $x^2+x+3$ e imponendo che il resto sia nullo troverai la condizione per $a$
N.B: $f(x)=x^4-(2+a)x^3+(2a-1)x^2-(a-2)x-2a$....
ciao ciao
per il primo esercizio è abbastanza banale:
$->$ se $f(x)=g(x)(x^3-x)$ è banale che $f(0)=f(1)=f(2)=0$
$<-$ se $f(0)=f(1)=f(2)=0$ allora si ha che nella fattorizzazione di $f$ vi sono i fattori $(x-0)(x-1)(x-2)=x^3-x$ quindi si ha che $f(x)=g(x)(x^3-x)$ con il grado di $g$ maggiore o uguale a zero a seconda se $f$ abbia esattamente grado $3$ oppure maggiore.
per il secondo basta fare una semplice divisione fra polinomi e si deve imporre che il resto sia nullo... e il resto della divisione fra $x^3+cx-1$ e $x-2$ risulta essere $2c$ allora si ha la semplice congruenza $2c=0$ $mod(7)$ se e solo se $c=0$ $mod(7)$
per il terzo vuoi trovare un polinomio del tipo $f(x)=(x-a)(x-1)(x-2)(x+1)$ con $a\inZZ_5$ da determinare e a questo punto fai la divisione per $x^2+x+3$ e imponendo che il resto sia nullo troverai la condizione per $a$
N.B: $f(x)=x^4-(2+a)x^3+(2a-1)x^2-(a-2)x-2a$....
ciao ciao
grazie mille per il tuo aiuto
riprendo il topic per non crearne un 'altro sullo stesso argomento:
volevo chiedervi come faccio a trovare l'insieme dei polinomi di 1°, 2° ecc.
ad esempio:preso l'anello dei polinomi in Z3[x]
determinare l'insieme dei polinomi di primo grado.
secondo voi come devo procedere in questo caso, ma anche nei casi generalizzati
dei vari campi?
grazie
volevo chiedervi come faccio a trovare l'insieme dei polinomi di 1°, 2° ecc.
ad esempio:preso l'anello dei polinomi in Z3[x]
determinare l'insieme dei polinomi di primo grado.
secondo voi come devo procedere in questo caso, ma anche nei casi generalizzati
dei vari campi?
grazie
ma mi sembra abbastanza semplice un polinomio di primo grado in $ZZ_3[x]$ è del tipo $ax+b$ con $a,b\inZZ_3$
se quindi vuoi il polinomio generale di grado $n$ è facile in quanto sarà del tipo
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$
con gli $a_i\inZZ_3$
se quindi vuoi il polinomio generale di grado $n$ è facile in quanto sarà del tipo
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$
con gli $a_i\inZZ_3$
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